Gravitation et mécanique céleste

Introduction

Chaque jour, des milliers de citoyens utilisent des services de positionnement global (GPS) ou observent le passage de la Station spatiale internationale (ISS) sur les réseaux sociaux. Ces technologies reposent sur une maîtrise parfaite des lois de la gravitation. Pour qu'un satellite reste en orbite autour de la Terre, ou pour qu'une sonde spatiale atteigne une autre planète, il ne suffit pas de "lancer" l'objet avec une vitesse suffisante : il faut comprendre l'équilibre subtil entre l'inertie d'un corps et l'attraction gravitationnelle d'un astre. Cette leçon explore les fondements de la mécanique céleste, en partant des observations empiriques de Kepler pour aboutir à la formalisation dynamique de Newton.

Ces lois ne sont pas nées d'une intuition, mais d'une confrontation serrée avec des mesures. À la fin du XVI^e siècle, Tycho Brahe, depuis son observatoire d'Uraniborg, relève les positions des planètes à l'œil nu avec une précision inédite, de l'ordre de la minute d'arc. Kepler, son assistant puis son successeur, tente d'ajuster l'orbite de Mars sur un cercle et bute sur un écart résiduel de l'ordre de huit minutes d'arc : bien plus que l'incertitude des mesures de Tycho, qu'il connaît, et donc inacceptable. C'est ce refus d'attribuer un écart significatif à l'erreur de mesure qui le conduit à l'ellipse. La même attitude, prendre au sérieux un écart à la loi plutôt que la rejeter, reviendra au XIX^e siècle avec Uranus et Mercure.

L'enjeu de cette étude est double. D'une part, il s'agit de comprendre comment une loi physique universelle, la gravitation, permet de décrire des mouvements aussi variés que la chute d'un objet vers le sol, la révolution de la Lune autour de la Terre ou la trajectoire d'une exoplanète lointaine. D'autre part, nous verrons comment la conservation des grandeurs mécaniques, notamment le moment cinétique, permet de déduire des propriétés géométriques fondamentales des trajectoires sans avoir à résoudre systématiquement les équations différentielles du mouvement. Nous suivrons un fil directeur qui part de la description d'une orbite circulaire simplifiée, passe par la dynamique des systèmes binaires, seul problème gravitationnel exactement soluble, et aboutit à la mécanique céleste proprement dite : ce qui se passe dès qu'un troisième corps intervient.

Avant d'entrer dans le vif du sujet, il est crucial de lever une confusion fréquente : l'orbite n'est pas une "force" qui maintient un objet en mouvement, mais le résultat d'une accélération permanente. Un satellite en orbite est en état de chute libre perpétuelle ; sa vitesse tangentielle est précisément ajustée pour que la courbure de sa trajectoire corresponde à la courbure de la Terre. Si la vitesse est trop faible, il retombe ; si elle est trop élevée, il s'échappe. Cette notion de "vitesse de satellisation" est le point de départ de notre analyse dynamique.

Enfin, nous quitterons le problème à deux corps. Un corps étendu subit une attraction qui varie d'un bord à l'autre (les marées) ; un petit corps peut rester immobile par rapport à deux grands (les points de Lagrange) ; les planètes se perturbent mutuellement, au point que l'écart d'une orbite à l'ellipse a permis de découvrir Neptune, puis de révéler, avec Mercure, la limite de la théorie de Newton elle-même. Ces écarts aux ellipses de Kepler ne sont pas des défauts à taire : leur étude est l'objet même de la mécanique céleste.

Loi de gravitation universelle et satellites en orbite circulaire (Terminale spé)

Pour comprendre le mouvement des corps célestes, il convient d'abord de définir la nature de l'interaction à l'œuvre. À l'échelle macroscopique, la gravitation est une force d'attraction universelle agissant entre deux masses.

Cette loi, formulée par Newton, unifie la chute des corps sur Terre et le mouvement des planètes. Elle implique que la force est une force centrale : elle est dirigée vers le centre du corps source et sa norme ne dépend que de la distance \(r\). Pour l'étude d'un satellite de masse \(m\) en orbite autour d'un astre de masse \(M\) (avec \(M \gg m\)), on peut simplifier le système en considérant le centre de l'astre comme l'origine d'un référentiel galiléen \(\mathcal{R}\).

Considérons le cas particulier d'une orbite circulaire de rayon \(R\). Dans ce régime, le satellite se déplace à une vitesse constante \(v\) telle que la force gravitationnelle assure le rôle de force centripète. La deuxième loi de Newton s'écrit alors : \(\vec{F} = m\vec{a}\).

En projetant cette égalité sur la direction du vecteur vitesse \(\vec{v}\), on obtient que la force est perpendiculaire au mouvement. En projetant sur la direction du vecteur position \(\vec{r}\), on obtient :

D'où nous tirons la vitesse orbitale nécessaire pour maintenir le satellite en orbite :

Cette expression montre que la vitesse d'orbite dépend uniquement de la masse de l'astre central et de la distance au centre. Elle est indépendante de la masse du satellite, ce qui explique pourquoi des objets de masses très différentes (comme des débris spatiaux ou des stations internationales) peuvent partager la même trajectoire à une altitude donnée.