Notion

Cinématique du point

La cinématique du point décrit le mouvement d'un point matériel \(M\) — trajectoire et vecteurs caractéristiques — sans s'intéresser aux causes de ce mouvement. Le vecteur position \(\vec{OM}(t)\) est repéré depuis une origine \(O\) fixe dans un référentiel \(\mathcal{R}\) ; les vecteurs vitesse et accélération s'obtiennent par dérivations temporelles successives, toujours dans ce même référentiel :

\[ \vec{v}(t) = \left(\dfrac{\mathrm{d}\vec{OM}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathcal{R}} \qquad \vec{a}(t) = \left(\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathcal{R}} \]

Base cartésienne : \(\vec{OM} = x\vec{e}_x + y\vec{e}_y + z\vec{e}_z\), d'où \(\vec{v} = \dot{x}\vec{e}_x + \dot{y}\vec{e}_y + \dot{z}\vec{e}_z\) et \(\vec{a} = \ddot{x}\vec{e}_x + \ddot{y}\vec{e}_y + \ddot{z}\vec{e}_z\).

Base polaire (CPGE) : \(\vec{v} = \dot{r}\,\vec{e}_r + r\dot{\theta}\,\vec{e}_\theta\) et \(\vec{a} = (\ddot{r} - r\dot{\theta}^2)\,\vec{e}_r + (r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta})\,\vec{e}_\theta\).

Point de vigilance : une dérivée temporelle de vecteur n'a de sens que relativement à un référentiel — toujours le préciser, même quand il paraît évident.

Une vitesse de norme constante n'implique pas une accélération nulle si la trajectoire est courbe (accélération normale non nulle). À l'inverse, une accélération nulle impose un vecteur vitesse constant, donc un mouvement rectiligne uniforme.