Physique · Sujet officiel n°1 · Session 2027
Prérequis : cinématique du point (vecteurs position, vitesse, accélération), bases d'un référentiel, produit scalaire et produit vectoriel (MPSI), notion de force et de référentiel galiléen vus au collège et en Seconde. Matériel : table à coussin d'air + mobile autoporté, dispositif de pointage vidéo, masses marquées et poulie ; pendule pesant rigide (tige graduée + masse) sur axe à couteau repositionnable, capteur d'angle (potentiomètre multitours ou capteur optique), pied à coulisse, acquisition Python.
Une luge lancée sur la neige finit par s'immobiliser. Pour Aristote, cet arrêt est la preuve qu'un mouvement exige une cause permanente : sans force, pas de mouvement. C'est une conception intuitive, mais fausse, et elle survit chez nos élèves. Galilée puis Newton renversent le raisonnement : ce n'est pas le mouvement qui réclame une force, c'est sa modification. La luge ralentit à cause des frottements ; sur une surface idéale sans frottement, elle ne s'arrêterait jamais.
La dynamique newtonienne, formalisée dans les Principia (1687), est le cadre qui relie les causes (les forces) aux effets (les variations du mouvement). Toute la mécanique du point du secondaire et de première année de CPGE en découle. L'enjeu de cette leçon est double : montrer que ce corpus se construit par paliers d'abstraction successifs dans le curriculum français, et l'illustrer à chaque niveau par une expérience réellement exploitée.
Le programme n'introduit pas les trois lois d'un bloc : il les distille sur trois années. Restituer cette progression est le cœur pédagogique de la partie. Travaillons dans un référentiel \(\mathcal{R}\) supposé galiléen, hypothèse fondatrice sans laquelle aucun des énoncés qui suivent n'a de sens.
En Terminale seulement apparaît le vecteur accélération, deuxième dérivée temporelle de la position, et avec lui la forme vectorielle de la deuxième loi. On définit d'abord proprement, dans \(\mathcal{R}\) :
\[ \vec{v}(M/\mathcal{R}) = \left.\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t}\right|_{\mathcal{R}}, \qquad \vec{a}(M/\mathcal{R}) = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}(M/\mathcal{R})}{\mathrm{d}t}\right|_{\mathcal{R}} . \]
La première loi apparaît alors comme le cas particulier \(\sum\vec{F}_{\text{ext}}=\vec{0}\Rightarrow \vec{a}=\vec{0}\) : le principe d'inertie est contenu dans la deuxième loi. Cette relation est vectorielle : elle impose que l'accélération soit colinéaire et de même sens que la résultante des forces, ce qui se prête directement à une validation expérimentale.
Cette manip incarne la démarche que le jury attend d'un enseignant en poste : distinguer explicitement l'expérience (le nuage de points pointés), le modèle (\(m\vec{a}=\sum\vec{F}\) avec frottements négligés) et la théorie (les lois de Newton), et lire les frottements résiduels non comme une erreur de manipulation mais comme la limite assumée du modèle.
Notion de force, principe d'inertie qualitatif, actions réciproques. On travaille avec des directions et des sens, pas encore avec des dérivées.
Principe d'inertie (1ʳᵉ loi) et sa réciproque, quantité de mouvement \(\vec{p}=m\vec{v}\), lien qualitatif « \(\Delta\vec{v}\) colinéaire à \(\sum\vec{F}\) », troisième loi de Newton. Le mot « accélération » n'est pas encore vectorisé.
Vecteurs vitesse et accélération comme dérivées de la position, deuxième loi vectorielle \(m\vec{a}=\sum\vec{F}_{\text{ext}}\), applications aux champs uniforme et de gravitation.
Formalisation en référentiel galiléen, théorème du moment cinétique, intégrales premières, ouverture aux référentiels non galiléens.
La puissance de la deuxième loi se mesure à sa portée : la même équation gouverne la pomme qui tombe et la Lune qui orbite. On l'applique ici aux deux champs au programme de Terminale, le champ uniforme et le champ de gravitation.
Système : projectile ponctuel de masse \(m\). Référentiel terrestre \(\mathcal{R}\) supposé galiléen. Frottements de l'air négligés : la seule force est le poids \(\vec{P}=m\vec{g}\), avec \(\vec{g}\) uniforme.
\[ m\,\vec{a}(M/\mathcal{R}) = m\vec{g} \quad\Longrightarrow\quad \vec{a}(M/\mathcal{R}) = \vec{g}. \]
L'accélération est indépendante de la masse : c'est l'universalité de la chute libre. Deux corps de masses différentes, lâchés sans vitesse, tombent identiquement dans le vide.
Avec \(\vec{g}=-g\,\vec{e}_z\), une vitesse initiale \(\vec{v}_0\) dans le plan \((x,z)\) à un angle \(\alpha\) et une origine en \(O\) :
\[ \vec{v}(t)=\begin{pmatrix} v_0\cos\alpha \\ -\,g\,t+v_0\sin\alpha \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow{OM}(t)=\begin{pmatrix} v_0\cos\alpha\;t \\ -\tfrac12 g t^2 + v_0\sin\alpha\;t \end{pmatrix}. \]
\[ z(x) = -\dfrac{g}{2\,v_0^2\cos^2\alpha}\,x^2 + \tan\alpha\;x. \]
La trajectoire est une parabole d'axe vertical. Sens physique : la composante horizontale de la vitesse reste constante (aucune force horizontale), seule la composante verticale évolue sous l'effet de \(\vec{g}\).
Passons au champ de gravitation. Pour une orbite circulaire de rayon \(r\) d'un satellite de masse \(m\) autour d'un astre de masse \(M\), la deuxième loi projetée sur la direction radiale donne l'accélération centripète :
\[ m\dfrac{v^2}{r} = \dfrac{G M m}{r^2} \;\Longrightarrow\; v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}, \qquad T=\dfrac{2\pi r}{v}. \]
D'où \(\dfrac{T^2}{r^3}=\dfrac{4\pi^2}{GM}\) : le rapport ne dépend que de l'astre attracteur, c'est la troisième loi de Kepler (lien direct avec le sujet officiel n°23).
Un satellite géostationnaire reste fixe au-dessus d'un point de l'équateur : sa période vaut le jour sidéral \(T=86\,164~\text{s}\). Avec \(GM_{\text{Terre}}=3{,}986\times10^{14}~\text{m}^3\cdot\text{s}^{-2}\) et \(R_{\text{Terre}}=6{,}37\times10^{6}~\text{m}\), déterminer le rayon d'orbite, l'altitude et la vitesse.
\[ r=\left(\dfrac{GM\,T^2}{4\pi^2}\right)^{1/3} =\left(\dfrac{3{,}986\times10^{14}\times(86\,164)^2}{4\pi^2}\right)^{1/3} \approx 4{,}22\times10^{7}~\text{m}=42\,200~\text{km}. \] Altitude \(h=r-R_{\text{Terre}}\approx 3{,}58\times10^{7}~\text{m}\approx 35\,800~\text{km}\). Vitesse \(v=\sqrt{GM/r}\approx 3{,}07\times10^{3}~\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\).
Sens physique : cette altitude unique d'environ 36 000 km est celle où la période orbitale égale exactement la durée de rotation de la Terre : le satellite paraît immobile dans le ciel, d'où son usage en télécommunications et en météorologie. Toute autre altitude donnerait un satellite défilant.
Illustration expérimentale de la Partie 1. Conformément à la règle d'une manip par partie (secondaire / CPGE), la manip 1 (mobile autoporté, section I) constitue l'illustration expérimentale exploitée de l'ensemble de la partie secondaire : la deuxième loi qu'elle valide est ici simplement appliquée à deux champs. On la prolonge par la simulation PhET « Projectile Motion » (modèle numérique, pas une mesure), autorisée pendant l'épreuve : on règle \(v_0\) et \(\alpha\), on relève la portée et la flèche, et on vérifie que la trajectoire simulée coïncide avec la parabole \(z(x)\) prévue par le modèle ; en ajustant \(v_0\) pour retrouver une portée imposée, on met en évidence la sensibilité de la trajectoire aux conditions initiales.
En CPGE, la description « force = masse × accélération » se double d'un point de vue rotationnel, plus commode dès qu'un point de la trajectoire est privilégié (pivot, centre attracteur). On introduit le moment cinétique et son théorème d'évolution.
Solide de moment d'inertie \(J_\Delta\) par rapport à l'axe horizontal fixe \(\Delta\) passant par le point de suspension, de masse \(m\), centre d'inertie \(G\) à la distance \(d\) de l'axe. Seul le poids a un moment non nul (la liaison pivot supposée parfaite) :
\[ J_\Delta\,\ddot{\theta} = -\,m g d\,\sin\theta. \]
Pour \(\theta\) petit, \(\sin\theta\approx\theta\) : \(\ddot{\theta}+\dfrac{mgd}{J_\Delta}\,\theta=0\), oscillateur harmonique de pulsation propre
\[ \omega_0=\sqrt{\dfrac{mgd}{J_\Delta}}~~\text{(rad}\cdot\text{s}^{-1}), \qquad T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{J_\Delta}{mgd}}. \]
En multipliant l'équation exacte par \(\dot\theta\) et en intégrant, on obtient la conservation de l'énergie mécanique \(\tfrac12 J_\Delta\dot\theta^2 - mgd\cos\theta=\text{cte}\) : une intégrale première du mouvement, au programme de MPSI, qui donne accès au portrait de phase.
Cas limite du pendule simple (masse ponctuelle : \(J_\Delta=mL^2\), \(d=L\)) : \(T_0=2\pi\sqrt{L/g}\), d'où \(g=\dfrac{4\pi^2 L}{T_0^2}\). La mesure de \(g\) devient une mesure de temps et de longueur.
numpy.polyfit avec barres d'erreur) sur \((d^2,\,T^2 d)\) ; portrait de phase \((\theta,\dot\theta)\) ; FFT de \(\theta(t)\) pour extraire la fréquence propre.À titre d'ordre de grandeur, un TP de référence donne un moment d'inertie mesuré \(J\approx(20{,}7\pm0{,}7)~\text{kg}\cdot\text{cm}^2\), soit environ 3,4 % relatif : représentatif de ce qu'on obtient au tableau, pas une valeur normative. En prolongement historique, le pendule réversible de Kater a permis la première mesure absolue de \(g\) sans connaître ni \(J_\Delta\) ni \(d\).
Dernier approfondissement : que devient la dynamique dans un référentiel \(\mathcal{R}'\) non galiléen ? La deuxième loi ne s'applique plus telle quelle ; il faut ajouter deux forces d'inertie :
La force de Coriolis \(\vec{F}_{\text{ic}}\), orthogonale à \(\vec{v}(M/\mathcal{R}')\), ne travaille jamais ; la force d'inertie d'entraînement \(\vec{F}_{\text{ie}}\) contient le terme centrifuge. Application terrestre : le référentiel terrestre tourne à \(\Omega_{\text{Terre}}=\dfrac{2\pi}{86\,164~\text{s}}\approx 7{,}29\times10^{-5}~\text{rad}\cdot\text{s}^{-1}\). Cette rotation explique la pesanteur apparente (poids + terme centrifuge), la légère déviation vers l'est d'un corps en chute libre, et la rotation lente du plan d'oscillation du pendule de Foucault (interprétation qualitative attendue en MPSI).
La dynamique newtonienne se construit par paliers : force et inertie qualitatives en Seconde ; principe d'inertie, quantité de mouvement et actions réciproques en Première ; deuxième loi vectorielle et mouvements dans un champ en Terminale ; moment cinétique, intégrales premières et référentiels non galiléens en MPSI. Une même équation, \(m\vec{a}=\sum\vec{F}\), décrit la chute d'un projectile et l'orbite d'un satellite.
Ses limites délimitent la physique moderne : masse supposée constante (fausse pour une fusée qui éjecte ses gaz), vitesses supposées faibles devant \(c\) (sinon relativité restreinte), échelles supposées macroscopiques (sinon mécanique quantique).
Ponts vers les sujets connexes : l'oscillateur harmonique du pendule ouvre sur les oscillateurs (sujet 8) et, sous excitation, sur la résonance (sujet 14) ; les frottements résiduels de la manip 1 sont le point d'entrée du sujet frottements (sujet 19) ; l'application de la deuxième loi à une particule de fluide conduit à l'équation d'Euler (sujet 13, fluides) ; l'orbite circulaire prépare la gravitation et les lois de Kepler (sujet 23).
Articulation avec la pratique professionnelle : la manip 1 est exactement le TP de validation de la deuxième loi que l'on conduit en Terminale par pointage vidéo ; la démarche expérience / modèle / théorie qu'elle installe est celle qui structure l'enseignement de la mécanique du collège à la CPGE, et que l'on réinvestit dans chaque chapitre.
Pourquoi la deuxième loi de Newton n'est-elle valable que dans un référentiel galiléen ?
Dans un référentiel non galiléen \(\mathcal{R}'\), l'accélération absolue diffère de l'accélération relative des termes d'entraînement et de Coriolis. Écrire \(m\vec{a}(M/\mathcal{R}')=\sum\vec{F}_{\text{réelles}}\) serait faux : il faut ajouter \(\vec{F}_{\text{ie}}\) et \(\vec{F}_{\text{ic}}=-2m\vec{\Omega}\wedge\vec{v}(M/\mathcal{R}')\). Le caractère galiléen est précisément la classe de référentiels où ces forces d'inertie s'annulent, ce qui fait de la deuxième loi une définition opérationnelle des référentiels galiléens.
Dans la mesure de g, pourquoi chronométrer 20 périodes plutôt qu'une seule ?
L'incertitude sur le chronométrage \(u(t)\) (temps de réaction, ~0,2 s) est fixe, alors que la durée mesurée est \(N\) fois plus grande : \(u(T)/T\) est divisée par \(N\). C'est décisif car dans \(u(g)/g=\sqrt{(u(L)/L)^2+(2\,u(T)/T)^2}\), le terme temporel entre avec un facteur 2 (car \(g\propto T^{-2}\)) : il domine le budget. Sans cette précaution, l'incertitude sur \(g\) serait dominée par le chronométrage plutôt que par la physique.
Comment introduisez-vous concrètement la distinction entre première et deuxième loi en classe ?
En Première, je pars du principe d'inertie sur un cas où \(\sum\vec{F}=\vec{0}\) (mobile sur coussin d'air) : la vitesse reste constante, on introduit \(\vec{p}=m\vec{v}\) et sa conservation. En Terminale, je casse cette situation en appliquant une force non nulle : le mouvement n'est plus uniforme, et j'ai besoin d'un nouvel outil, le vecteur accélération, pour quantifier la variation. La deuxième loi apparaît alors comme la généralisation qui contient la première comme cas particulier. Je respecte ainsi la progression du BO, sans présenter les lois comme un bloc.
Le poids d'un livre posé sur une table et la réaction de la table forment-ils un couple action-réaction ?
Non. Ces deux forces s'appliquent sur le même corps (le livre) et se compensent parce que le livre est en équilibre : c'est la première loi, pas la troisième. Le partenaire action-réaction du poids (attraction Terre → livre) est l'attraction gravitationnelle du livre sur la Terre, force qui s'applique sur la Terre. Le partenaire de la réaction de la table est l'action du livre sur la table. Confondre les deux est l'une des erreurs les plus tenaces au lycée.
Dans quelles situations la mécanique newtonienne cesse-t-elle d'être valable ?
Trois frontières : (i) vitesses comparables à \(c\), où l'additivité des vitesses et \(\vec{p}=m\vec{v}\) échouent (relativité restreinte) ; (ii) échelles atomiques, où la notion de trajectoire perd son sens (mécanique quantique) ; (iii) systèmes à masse variable, où l'on doit repartir de \(\mathrm{d}\vec{p}/\mathrm{d}t=\sum\vec{F}\) avec \(m(t)\) (propulsion par réaction). Hors programme du secondaire, mais utile à évoquer pour situer la portée du modèle.
Retrouvez la troisième loi de Kepler pour une orbite circulaire, et dites ce qu'elle devient pour une orbite elliptique.
Pour un cercle : \(m v^2/r = GMm/r^2\) donne \(v^2=GM/r\), et avec \(T=2\pi r/v\) on obtient \(T^2/r^3=4\pi^2/(GM)\). Pour une ellipse, la loi reste valable en remplaçant \(r\) par le demi-grand axe \(a\) : \(T^2/a^3=4\pi^2/(GM)\). C'est un résultat de MPSI (mouvement à force centrale, conservation du moment cinétique), au-delà de la démonstration attendue en Terminale, où l'on se limite au cas circulaire.
Le pendule est-il vraiment isochrone ? Comment le vérifier et le corriger ?
L'isochronisme n'est vrai qu'à l'approximation \(\sin\theta\approx\theta\). Aux amplitudes finies, la période croît : \(T=T_0\!\left[1+\dfrac{\theta_0^2}{16}+\dots\right]\) (formule de Borda). On le vérifie expérimentalement en traçant la période en fonction de \(\theta_0\) : la mesure s'écarte de l'horizontale au-delà de quelques degrés. En pratique on travaille à \(\theta_0\lesssim 10^\circ\) pour rendre ce terme négligeable devant les autres sources d'incertitude, ou on applique la correction.
Manuels canoniques
Sources officielles et ressources institutionnelles
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