Notion

Produit scalaire (et produit vectoriel)

Le produit scalaire associe à deux vecteurs un nombre réel ; le produit vectoriel, introduit seulement en CPGE, leur associe un troisième vecteur. Le premier est central dès la Première spécialité (travail d'une force) ; le second apparaît en première année de CPGE, comme outil préalable à la mécanique du point et à l'électromagnétisme.

\[ \vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z \] \[ \vec{u}\wedge\vec{v} \ : \text{vecteur de norme } \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\sin\theta,\ \text{orthogonal au plan } (\vec{u},\vec{v}),\ \text{orienté par la règle de la main droite} \]

où \(\theta\) est l'angle géométrique entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\). Le produit scalaire est nul si et seulement si les deux vecteurs sont orthogonaux ; il est commutatif et bilinéaire. Usages physiques principaux : travail élémentaire d'une force \(\delta W = \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{OM}\) et puissance \(P = \vec{F}\cdot\vec{v}\) (produit scalaire) ; moment d'une force \(\vec{\mathcal{M}} = \vec{OM}\wedge\vec{F}\), moment cinétique \(\vec{L} = \vec{OM}\wedge m\vec{v}\) et force de Laplace \(\vec{F} = I\vec{\ell}\wedge\vec{B}\) (produit vectoriel).

Le produit scalaire peut être négatif si l'angle entre les deux vecteurs est obtus (ex. travail résistant d'une force de frottement) : ce n'est pas une erreur de calcul. Le produit scalaire rend un scalaire, le produit vectoriel un vecteur — les confondre est une erreur fréquente en électromagnétisme (force de Laplace).