Notion

Trigonométrie des fonctions sinusoïdales

Une grandeur sinusoïdale du temps décrit un phénomène périodique (oscillation mécanique, tension alternative, onde progressive périodique). Introduite au lycée via le mouvement circulaire uniforme, elle devient en CPGE la brique de tout régime sinusoïdal propre ou forcé.

\[ x(t) = X_m \cos(\omega t + \varphi) \]
GrandeurSymboleUnitéRelation
Amplitude\(X_m\)unité de \(x\)valeur maximale de \(|x(t)|\)
Pulsation\(\omega\)rad·s⁻¹\(\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f\)
Phase à l'origine\(\varphi\)radvaleur de la phase instantanée à \(t=0\)
Période\(T\)sdurée d'un cycle complet
Fréquence\(f\)Hz\(f = 1/T\)

La dérivée temporelle d'une grandeur sinusoïdale reste sinusoïdale, de même pulsation, déphasée de \(\pi/2\) : \(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = -X_m \omega \sin(\omega t + \varphi)\). En CPGE, cette notation est étendue au domaine complexe pour l'étude des régimes sinusoïdaux forcés : \(\underline{x}(t) = X_m e^{j(\omega t + \varphi)}\), avec \(x(t) = \mathrm{Re}(\underline{x}(t))\).

Pièges usuels :
  • Confondre pulsation et fréquence : \(\omega = 2\pi f\), pas \(\omega = f\). Toujours donner \(\omega\) en rad·s⁻¹, jamais sans unité.
  • Confondre la phase à l'origine \(\varphi\) d'un seul signal avec le déphasage entre deux signaux (deux notions liées mais distinctes, en particulier à la lecture d'un oscillogramme).
  • Ne pas confondre \(\omega\) (pulsation, oméga minuscule) et \(\Omega\) (ohm, oméga majuscule).