Notion

Théorème de Millman (régime continu)

Le théorème de Millman donne directement le potentiel électrique \(V\) d'un nœud unique dans un réseau résistif linéaire, en régime continu. C'est une reformulation locale de la loi des nœuds (conservation du courant), où chaque courant de branche est exprimé par la loi d'Ohm généralisée : un théorème dérivé des lois de Kirchhoff, pas un principe indépendant.

Soit un nœud de potentiel inconnu \(V\), relié par des branches purement résistives à des potentiels connus \(V_k\) (sources de tension ou nœuds déjà déterminés), chaque branche \(k\) présentant une résistance \(R_k\) :

\[ V = \dfrac{\displaystyle\sum_{k} \dfrac{V_k}{R_k}}{\displaystyle\sum_{k} \dfrac{1}{R_k}} \quad\text{ou, en conductances } G_k = \dfrac{1}{R_k} : \quad V = \dfrac{\displaystyle\sum_{k} G_k V_k}{\displaystyle\sum_{k} G_k} \]

Cas particulier : le diviseur de tension (nœud entre \(R_1\) reliée à \(E\) et \(R_2\) reliée à la masse \(V=0\)) n'est qu'un cas à deux branches de ce théorème : \(V = E\,\dfrac{R_2}{R_1+R_2}\).

Une source de courant idéale \(\eta\) entrant au nœud s'ajoute directement au numérateur, en terme additif \(+\eta\) : elle ne se met pas sous la forme \(V_k/R_k\), contrairement à une branche résistive. Confondre les deux traitements, ou oublier une branche convergeant au nœud dans la somme des conductances au dénominateur, sont les deux erreurs les plus fréquentes. Fixer clairement le potentiel de référence (masse à \(0\ \text{V}\)) avant de calculer évite aussi une erreur de signe classique.

Utile dès qu'un nœud comporte plus de deux branches (le diviseur simple ne suffit plus) : c'est le cas du pont de Wheatstone en capteurs résistifs, ou du montage sommateur à amplificateur opérationnel.