Notion

Régression linéaire

La régression linéaire (ou ajustement affine par la méthode des moindres carrés) détermine, pour un nuage de points expérimentaux \((x_i, y_i)_{i=1..n}\), la droite \(y = ax+b\) qui minimise la somme des carrés des écarts verticaux entre les points mesurés et la droite modèle : \(\displaystyle S(a,b) = \sum_{i=1}^n \big(y_i - (ax_i+b)\big)^2\).

\[ a = \dfrac{\sum_i (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_i (x_i-\bar{x})^2} = \dfrac{\mathrm{cov}(x,y)}{\mathrm{var}(x)} \qquad b = \bar{y} - a\bar{x} \]

où \(\bar{x}\) et \(\bar{y}\) sont les moyennes empiriques des mesures. La qualité de l'ajustement se lit sur le coefficient de corrélation linéaire \(r \in [-1,1]\) : en sciences expérimentales, un ajustement est généralement jugé satisfaisant pour \(|r| > 0{,}99\) (repère d'usage, pas une norme). Le coefficient de détermination \(r^2\) donne la fraction de la variance de \(y\) expliquée par le modèle linéaire.

Introduite en Seconde/Première (ajustement affine, nuage de points), formalisée en Terminale spécialité, la méthode est un outil systématique de CPGE pour l'exploitation quantitative de mesures : droites d'étalonnage (loi de Beer-Lambert), vérification de lois affines (loi d'Ohm, cinétique d'ordre 1 en \(\ln[A]\) fonction du temps), linéarisation d'une loi de puissance par passage au logarithme.

Ne pas forcer une droite sur un nuage manifestement non linéaire sans linéarisation préalable.
\(|r|\) élevé indique une corrélation, jamais une causalité.
Ne pas extrapoler la droite en dehors du domaine des points mesurés.
La régression de \(y\) en fonction de \(x\) diffère de celle de \(x\) en fonction de \(y\) (sauf \(|r|=1\)) : bien identifier la variable explicative.
La régression seule ne suffit pas : il faut estimer les incertitudes sur \(a\) et \(b\), pas seulement regarder \(r\) — attente explicite du jury en montage.