Notion

Propagation des incertitudes

En métrologie, l'incertitude-type \(u(x)\) quantifie le doute sur une mesure : c'est l'écart-type de la loi de probabilité représentant les valeurs raisonnablement attribuables à la grandeur mesurée — elle ne mesure pas l'erreur elle-même, qui reste inconnaissable en pratique. On distingue deux méthodes d'évaluation, selon la nature des données disponibles :

Type A : évaluation statistique par répétition de \(n\) mesures indépendantes. L'incertitude sur la moyenne vaut \(u(x) = \dfrac{s(x)}{\sqrt{n}}\), où \(s(x)\) est l'écart-type expérimental de la série.

Type B : évaluation par tout autre moyen (spécification constructeur, résolution d'affichage, certificat d'étalonnage). Pour une résolution \(\delta\) d'un afficheur numérique (loi uniforme), \(u(x) = \dfrac{\delta}{2\sqrt{3}}\).

La distinction A/B porte sur la méthode d'évaluation, pas sur la nature de l'incertitude une fois obtenue : les deux se combinent ensuite de la même façon. Pour une grandeur composée \(g = f(x, y, \dots)\), à partir de grandeurs indépendantes, l'incertitude-type se calcule par propagation en quadrature :

\[u(g) = \sqrt{\sum_i \left(\dfrac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2 u(x_i)^2}\]

Cas particuliers usuels (niveau terminale) :

Somme ou différence \(g = x \pm y\) : \(u(g) = \sqrt{u(x)^2 + u(y)^2}\)
Produit ou quotient \(g = xy\) ou \(g = x/y\), en relatif : \(\dfrac{u(g)}{g} = \sqrt{\left(\dfrac{u(x)}{x}\right)^2 + \left(\dfrac{u(y)}{y}\right)^2}\)

Pièges classiques :

Additionner linéairement les incertitudes (\(u(x) + u(y)\)) au lieu de la somme quadratique, seule valable pour des sources d'erreur indépendantes.
Oublier le facteur de sensibilité \(\dfrac{\partial f}{\partial x_i}\) : sans lui, le poids relatif de chaque source est faussé dès que les grandeurs interviennent avec des puissances différentes.
Confondre incertitude absolue \(u(x)\) et incertitude relative \(u(x)/x\).