Notion

Poussée d'Archimède et équation de continuité

Deux notions de mécanique des fluides, à des niveaux d'introduction très différents : la poussée d'Archimède, phénoménologique dès le collège, et l'équation de continuité, qui relève du formalisme CPGE et n'a pas d'équivalent en secondaire.

Poussée d'Archimède

La poussée d'Archimède est la force exercée par un fluide au repos sur un solide totalement ou partiellement immergé. Elle est verticale, dirigée vers le haut, opposée au poids du fluide déplacé, et s'applique au centre de poussée (centre de masse du volume déplacé, qui peut différer du centre de gravité du solide) :

\[ \vec{\Pi} = -\rho_{\text{fluide}}\, V_{\text{immergé}}\, \vec{g} \]

Introduite qualitativement au collège (flottaison), formalisée au lycée ; la démonstration par intégration de la pression sur la surface du solide, comme conséquence de la relation fondamentale de la statique des fluides, relève du CPGE.

Piège : la poussée ne dépend que du volume de fluide déplacé et de la masse volumique du fluide, jamais de la masse ni de la nature du solide immergé.

Équation de continuité

Traduction locale de la conservation de la masse pour un fluide en écoulement, notion de CPGE exclusivement. En régime permanent, pour une conduite de section variable :

\[ \rho_1 S_1 v_1 = \rho_2 S_2 v_2 \]

Si le fluide est incompressible (hypothèse à énoncer explicitement), le débit volumique se conserve : \( S_1 v_1 = S_2 v_2 = D_v \) (en \(\text{m}^3\cdot\text{s}^{-1}\)).

Piège : \( S_1 v_1 = S_2 v_2 \) ne vaut que pour un fluide incompressible. Pour un fluide compressible, seul le débit massique \(\rho S v\) se conserve, pas le débit volumique.

Forme locale générale (fluide quelconque) : \[ \dfrac{\partial \rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho \vec{v}) = 0 \]