Le gradient, la divergence et le laplacien sont trois opérateurs d'analyse vectorielle utilisés
sans retour sur leur définition dans la plupart des chapitres de physique (électromagnétisme,
diffusion thermique ou de particules, mécanique des fluides).
Gradient \(\vec{\nabla}f\) : transforme un champ scalaire \(f\)
en champ vectoriel. Il pointe dans la direction et le sens de plus forte croissance
de \(f\), et donne la différentielle \(\mathrm{d}f = \vec{\nabla}f \cdot \mathrm{d}\vec{r}\).
Divergence \(\vec{\nabla}\cdot\vec{A}\) : transforme un champ
vectoriel \(\vec{A}\) en champ scalaire. Elle mesure le flux
sortant par unité de volume, ce que relie le théorème d'Ostrogradski :
\[\displaystyle\oiint_{S} \vec{A}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = \iiint_{V} \left(\vec{\nabla}\cdot\vec{A}\right)\mathrm{d}\tau\]
Laplacien scalaire : c'est la divergence du gradient,
\(\Delta f = \vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}f) = \nabla^2 f\).
Expressions en coordonnées cartésiennes (bases fixes) :
- \(\vec{\nabla}f = \dfrac{\partial f}{\partial x}\vec{e_x} + \dfrac{\partial f}{\partial y}\vec{e_y} + \dfrac{\partial f}{\partial z}\vec{e_z}\)
- \(\vec{\nabla}\cdot\vec{A} = \dfrac{\partial A_x}{\partial x} + \dfrac{\partial A_y}{\partial y} + \dfrac{\partial A_z}{\partial z}\)
- \(\Delta f = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2}\)
Laplacien vectoriel : hors coordonnées cartésiennes, \(\Delta\vec{A}\) n'est
pas le vecteur dont chaque composante serait le laplacien scalaire de la composante
correspondante (les vecteurs de base cylindriques ou sphériques dépendent du point). Il faut alors
repasser par l'identité \(\Delta\vec{A} = \vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot\vec{A}) - \vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{A})\).
Signe de l'équation de diffusion : pour un phénomène de transport (thermique ou de
particules), \(\dfrac{\partial T}{\partial t} = D\,\Delta T\), avec \(D\) le coefficient de diffusion.
Le signe devant \(D\Delta T\) est positif : le laplacien est négatif en un maximum
local, ce qui fait décroître \(T\) localement — cohérent avec la diffusion qui lisse les
hétérogénéités.