Notion

Onde plane progressive harmonique (OPPM)

Une onde plane progressive harmonique (OPPH, ou OPPM en électromagnétisme) est une onde dont les surfaces d'onde (surfaces équiphases) sont des plans perpendiculaires à une direction de propagation unique \(\vec{u}\), et dont la dépendance en temps est sinusoïdale pure, à une seule pulsation \(\omega\). Sous cette double hypothèse, la grandeur ondulatoire \(s\) s'écrit :

\[ s(\vec{r},t) = A\cos(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r} + \varphi) \]

où \(A\) est l'amplitude, \(\varphi\) la phase à l'origine, et \(\vec{k}=k\,\vec{u}\) le vecteur d'onde (en \(\mathrm{rad\cdot m^{-1}}\)), de norme \(k = 2\pi/\lambda\). Dans un milieu non dispersif, la relation de dispersion \(k = \omega/v\) (soit \(\omega = kv\)) permet de vérifier que cette forme est solution de l'équation de d'Alembert à une dimension, \(\dfrac{\partial^2 s}{\partial x^2} - \dfrac{1}{v^2}\dfrac{\partial^2 s}{\partial t^2} = 0\). On utilise couramment la notation complexe \(\underline{s}(\vec{r},t) = \underline{A}\,e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r})}\), avec \(s = \mathrm{Re}(\underline{s})\).

L'onde plane est une approximation : une source réelle rayonne une onde sphérique (amplitude en \(1/r\), surfaces d'onde sphériques), assimilable localement à une onde plane loin de la source (champ lointain). L'OPPH n'est elle-même qu'une composante de Fourier d'un signal quelconque, dont elle sert de brique de décomposition.

Pièges classiques :
  • Signe de la phase : \(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r}\) pour une propagation dans le sens de \(\vec{u}\), \(\omega t + \vec{k}\cdot\vec{r}\) pour le sens opposé — ne pas mélanger les deux conventions dans un même calcul.
  • Unités : \(\omega\) en \(\mathrm{rad\cdot s^{-1}}\), \(k\) en \(\mathrm{rad\cdot m^{-1}}\), souvent omises.
  • Vitesse de phase vs vitesse de groupe : dès qu'un milieu est dispersif, une seule OPPH ne décrit plus un paquet d'ondes réel.