En régime sinusoïdal forcé, à pulsation \(\omega\) fixée, on associe à toute grandeur réelle
sinusoïdale une grandeur complexe : c'est une commodité de calcul, pas un nouvel objet physique. Elle
permet de transformer les équations différentielles du problème en équations algébriques
(dérivation temporelle \(\to\) multiplication par \(j\omega\)).
Soit \(x(t) = X\cos(\omega t + \varphi)\). On lui associe la grandeur complexe
\[ \underline{x}(t) = X\,e^{j(\omega t + \varphi)} = \underline{X}\,e^{j\omega t} \]
où \(\underline{X} = X\,e^{j\varphi}\) est l'amplitude complexe. Retour au réel :
\(x(t) = \mathrm{Re}\big(\underline{x}(t)\big)\).
Cette formalisation permet de définir l'impédance complexe \(\underline{Z}\), qui
généralise la loi d'Ohm : \(\underline{u}(t) = \underline{Z}\,\underline{i}(t)\). Impédances usuelles :
- Résistance : \(\underline{Z}_R = R\)
- Bobine (inductance \(L\)) : \(\underline{Z}_L = jL\omega\)
- Condensateur (capacité \(C\)) : \(\underline{Z}_C = \dfrac{1}{jC\omega}\)
Note : en électricité on note \(j\) (avec \(j^2 = -1\)) plutôt que \(i\), pour ne pas confondre
avec l'intensité \(i(t)\). Le choix de convention est purement conventionnel et n'inverse aucun résultat
physique tant qu'il est appliqué de façon cohérente sur tout le calcul.
Pièges usuels :
- Retour au réel : la grandeur complexe elle-même n'a pas de sens physique
direct. Il est impératif de repasser par \(\mathrm{Re}(\cdot)\) avant toute conclusion physique
(tension mesurée, puissance instantanée...).
- Module, pas partie réelle : l'amplitude physique réelle est le module
de l'amplitude complexe, \(|\underline{X}| = X\), et non sa partie réelle.
- Puissance : la moyenne temporelle d'un produit de deux grandeurs sinusoïdales
n'est pas le produit direct des complexes associés ; il faut le conjugué :
\(\langle p(t) \rangle = \dfrac{1}{2}\,\mathrm{Re}(\underline{u}\,\underline{i}^{*})\).