Pour un point matériel \(M\) de masse \(m\), animé d'une vitesse \(\vec{v}\) dans un référentiel galiléen \(\mathcal{R}\), le moment cinétique par rapport à un point fixe \(O\) est défini par :
\[\vec{L}_O = \overrightarrow{OM} \wedge m\vec{v} = \overrightarrow{OM} \wedge \vec{p}\]
Contrairement à la quantité de mouvement \(\vec{p}\), cette grandeur vectorielle dépend explicitement du point \(O\) choisi : préciser systématiquement cet indice dans toute notation.
Théorème du moment cinétique (TMC), conséquence directe du PFD appliqué en un point fixe \(O\) d'un référentiel galiléen :
\[\dfrac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}\bigg|_{\mathcal{R}} = \sum \vec{\mathcal{M}}_O(\vec{F}_{\text{ext}}) = \sum \overrightarrow{OM} \wedge \vec{F}_{\text{ext}}\]
Une force \(\vec{F}\) est dite centrale de centre \(O\) si sa direction passe constamment par \(O\), soit \(\vec{F} = F(M,t)\,\vec{u}\) avec \(\vec{u} = \dfrac{\overrightarrow{OM}}{\|\overrightarrow{OM}\|}\) — seule la direction est contrainte, l'intensité \(F\) peut dépendre de \(r\), \(\theta\), \(t\) ou \(\vec{v}\). Pour une telle force, le moment par rapport à \(O\) est nul (\(\overrightarrow{OM} \wedge \vec{F} = \vec{0}\)), d'où par le TMC la conservation du moment cinétique : \(\vec{L}_O = \) constante.
Cette conservation a deux conséquences majeures :
- Planéité du mouvement : le mouvement est contenu dans le plan fixe passant par \(O\) et orthogonal à \(\vec{L}_O\).
- Loi des aires (2ᵉ loi de Kepler) : en coordonnées polaires, \(\|\vec{L}_O\| = mr^2\dot\theta = C\) (constante des aires), donc la vitesse aréolaire \(\dfrac{\mathrm{d}\mathcal{A}}{\mathrm{d}t} = \dfrac{C}{2m}\) est constante — le rayon vecteur \(\overrightarrow{OM}\) balaie des aires égales en des temps égaux.
Pièges usuels :
- Force centrale \(\neq\) force conservative : une force centrale n'est conservative que si son intensité ne dépend que de \(r\) (pas de \(\theta\), \(t\) ou \(\vec{v}\)). La conservation du moment cinétique vient de la centralité (moment nul), celle de l'énergie mécanique du caractère conservatif — deux arguments distincts, à ne pas fusionner.
- Point de référence : ne jamais mélanger un moment cinétique calculé en \(O\) avec un moment de force calculé en un autre point.
- Trajectoire : la conservation de \(\vec{L}_O\) implique seulement la planéité et la loi des aires, pas un cercle — la trajectoire peut être elliptique, parabolique ou hyperbolique (cas de la gravitation, selon le signe de l'énergie mécanique).