Notion

Impédance, spectre et analyse de Fourier (FFT)

En régime sinusoïdal forcé établi, l'impédance complexe \(\underline{Z}\) généralise la loi d'Ohm en reliant les amplitudes complexes de la tension et du courant, \(\underline{u} = \underline{Z}\,\underline{i}\). C'est une grandeur complexe \(\underline{Z} = R + jX\) (Ω), où \(R\) est la résistance (partie réelle) et \(X\) la réactance (partie imaginaire) ; son module donne le rapport des amplitudes réelles, son argument le déphasage entre tension et courant.

Impédances usuelles (\(\omega\) en \(\mathrm{rad\cdot s^{-1}}\)) :
  • Résistance : \(\underline{Z}_R = R\)
  • Condensateur : \(\underline{Z}_C = \dfrac{1}{jC\omega}\)
  • Bobine : \(\underline{Z}_L = jL\omega\)

Le spectre d'un signal \(s(t)\) est sa représentation dans le domaine fréquentiel : l'amplitude (et la phase) de chaque composante sinusoïdale pure qui, sommées, reconstituent le signal — c'est la décomposition de Fourier. Le spectre \(|\hat{s}(f)|\) se trace en fonction de la fréquence, pas du temps : ne pas le lire comme une évolution temporelle. La FFT (Fast Fourier Transform) est l'algorithme de calcul numérique de cette décomposition, appliqué à un signal échantillonné (oscilloscope numérique, traitement numérique).

Deux limites instrumentales à ne pas confondre :
  • Résolution spectrale : fixée par la durée totale d'acquisition, \(\Delta f = \dfrac{1}{T_{acq}}\). Augmenter la fréquence d'échantillonnage \(f_e\) n'affine pas la résolution ; elle fixe seulement la fréquence maximale observable (\(f_{max} < f_e/2\)).
  • Repliement de spectre (aliasing) : si le critère de Nyquist-Shannon \(f_e > 2 f_{max}\) n'est pas respecté, de fausses composantes basse fréquence apparaissent dans le spectre calculé. Un filtre anti-repliement passe-bas avant numérisation est nécessaire.