Notion

Flux, circulation et rotationnel d'un champ de vecteurs

Ces trois outils d'analyse vectorielle permettent de passer d'une description locale d'un champ de vecteurs \(\vec{A}(M)\) (le rotationnel) à sa description globale par intégration (flux et circulation) : socle des théorèmes intégraux mobilisés en électromagnétisme (Maxwell, Ampère, Gauss).

Le flux d'un champ \(\vec{A}\) à travers une surface \(S\) orientée par une normale \(\vec{n}\) mesure la quantité de champ traversant cette surface : \[ \Phi = \iint_S \vec{A}(M) \cdot \vec{n}(M)\, \mathrm{d}S \]

La circulation d'un champ \(\vec{A}\) le long d'un contour \(\Gamma\) orienté (fermé : \(\oint\)) mesure le travail, ou l'accumulation, du champ sur ce chemin : \[ \mathcal{C} = \int_{\Gamma} \vec{A}(M) \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} \]

Le rotationnel est l'opérateur différentiel local qui mesure la tendance du champ à « tourner » autour d'un point. En coordonnées cartésiennes : \[ \vec{\nabla} \wedge \vec{A} = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial A_z}{\partial y} - \dfrac{\partial A_y}{\partial z} \\ \dfrac{\partial A_x}{\partial z} - \dfrac{\partial A_z}{\partial x} \\ \dfrac{\partial A_y}{\partial x} - \dfrac{\partial A_x}{\partial y} \end{pmatrix} \] Un champ est dit irrotationnel si \(\vec{\nabla} \wedge \vec{A} = \vec{0}\) ; sur un domaine simplement connexe, il dérive alors d'un potentiel scalaire.

Théorème de Stokes-Ampère (circulation-rotationnel), \(\Gamma = \partial S\) orientés de façon cohérente (règle de la main droite) : \[ \oint_{\Gamma} \vec{A} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = \iint_{S} \left(\vec{\nabla}\wedge\vec{A}\right)\cdot \vec{n}\, \mathrm{d}S \] Théorème de Green-Ostrogradski (flux-divergence), \(V\) volume délimité par la surface fermée \(S = \partial V\), \(\vec{n}\) sortante : \[ \oiint_{S} \vec{A}\cdot \vec{n}\, \mathrm{d}S = \iiint_{V} \vec{\nabla}\cdot\vec{A}\; \mathrm{d}\tau \]

Pièges usuels : ne pas confondre les deux théorèmes (Stokes-Ampère relie contour et surface, Green-Ostrogradski relie surface fermée et volume) ; respecter l'orientation cohérente contour-surface, un changement de sens inverse le signe du résultat ; connaître les identités \(\vec{\nabla} \wedge (\vec{\nabla} f) = \vec{0}\) et \(\vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \wedge \vec{A}) = 0\).