Pour un système linéaire invariant dans le temps en régime sinusoïdal forcé établi, la
fonction de transfert complexe \(\underline{H}(j\omega) = \dfrac{\underline{u}}{\underline{e}}\)
est le rapport de l'amplitude complexe de sortie sur celle d'entrée. Elle caractérise le comportement
fréquentiel du montage, indépendamment de l'amplitude du signal d'entrée (c'est la linéarité qui le
permet).
Filtre RC du premier ordre, pulsation de coupure \(\omega_c = \dfrac{1}{RC}\) (même constante de
temps \(\tau = RC\) qu'en régime transitoire) :
- Passe-bas (sortie aux bornes du condensateur) :
\(\underline{H}(j\omega) = \dfrac{1}{1+j\dfrac{\omega}{\omega_c}}\)
- Passe-haut (sortie aux bornes de la résistance) :
\(\underline{H}(j\omega) = \dfrac{j\dfrac{\omega}{\omega_c}}{1+j\dfrac{\omega}{\omega_c}}\)
Le comportement du filtre se lit sur le diagramme de Bode : gain en décibels
\(G_{dB}(\omega) = 20\log_{10}|\underline{H}(j\omega)|\) et phase \(\varphi(\omega) = \arg(\underline{H}(j\omega))\)
tracés en fonction de \(\log\omega\). Pour un premier ordre, les asymptotes ont une pente de
\(\pm 20\) dB/décade, et le gain vaut \(G_{dB}(\omega_c) \approx -3\) dB à la pulsation de coupure.
Pièges usuels :
- Pulsation \(\omega_c\) (rad·s⁻¹) et fréquence de coupure \(f_c\) (Hz) sont deux
grandeurs distinctes, liées par \(f_c = \dfrac{\omega_c}{2\pi} = \dfrac{1}{2\pi RC}\) : le facteur
\(2\pi\) est souvent oublié en application numérique.
- Le temps caractéristique \(\tau = RC\) du régime transitoire (charge/décharge du
condensateur) et la pulsation de coupure \(\omega_c = 1/RC\) du régime sinusoïdal
forcé ne sont pas deux grandeurs indépendantes : elles viennent de la même constante de temps du
circuit.