Notion

Équations différentielles linéaires à coefficients constants

Une équation différentielle linéaire à coefficients constants relie une grandeur \(x(t)\) et ses dérivées temporelles par des coefficients constants ; elle modélise les régimes transitoires (charge d'un condensateur, amortissement d'un oscillateur) et le régime forcé sinusoïdal.

Ordre 1 : \(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + \dfrac{x}{\tau} = f(t)\), avec \(\tau\) la constante de temps (s). La solution générale \(x(t) = x_h(t) + x_p(t)\) additionne la solution homogène \(x_h(t) = A\,e^{-t/\tau}\) et une solution particulière \(x_p(t)\) de forme adaptée au second membre (charge/décharge d'un condensateur : \(\tau = RC\)).

Ordre 2, forme canonique utilisée en physique :

\[ \dfrac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + \dfrac{\omega_0}{Q}\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + \omega_0^2\,x = f(t) \] \(\omega_0\) : pulsation propre (\(\text{rad}\cdot\text{s}^{-1}\)), \(Q\) : facteur de qualité (sans dimension).

L'équation caractéristique associée (second membre nul) est \(r^2 + \dfrac{\omega_0}{Q}\,r + \omega_0^2 = 0\), de discriminant \(\Delta = \omega_0^2\left(\dfrac{1}{Q^2} - 4\right)\). La résolution complète suit toujours le même schéma : équation homogène → solution particulière → solution générale → deux constantes fixées par les deux conditions initiales (\(x(0)\) et \(\dot{x}(0)\), ou continuité physique de la charge d'un condensateur / du courant dans une bobine).

Nature du régime selon \(Q\) :

\(Q < 1/2\) (\(\Delta > 0\)) : régime apériodique, retour à l'équilibre sans oscillation.
\(Q = 1/2\) (\(\Delta = 0\)) : régime critique, retour le plus rapide sans oscillation.
\(Q > 1/2\) (\(\Delta < 0\)) : régime pseudo-périodique, oscillations amorties de pseudo-pulsation \(\omega = \omega_0\sqrt{1 - 1/(4Q^2)}\).

Pièges classiques :

Conditions initiales oubliées ou mal posées. Elles s'appliquent à la solution complète \(x = x_h + x_p\), jamais à \(x_h\) seule.
Pseudo-pulsation confondue avec la pulsation propre. En régime pseudo-périodique, la période observée correspond à \(\omega \ne \omega_0\).
Signe du terme d'amortissement. \(+\dfrac{\omega_0}{Q}\) traduit une dissipation ; un signe opposé produit une solution qui diverge, sans sens physique.