Notion

Échantillonnage, conversion analogique-numérique et bit

Numériser un signal analogique \(s(t)\) combine deux discrétisations indépendantes : l'échantillonnage (discrétisation temporelle, via \(f_e\)) et la quantification (discrétisation en amplitude, via le nombre de bits \(n\)). Principe qualitatif vu en terminale spécialité (physique-chimie, NSI) ; démonstration du théorème et exploitation quantitative (FFT, bruit de quantification) réservées à la CPGE.

L'échantillonnage prélève les valeurs du signal aux instants \(t_k = kT_e\), où \(T_e\) est la période d'échantillonnage et \(f_e = 1/T_e\) la fréquence d'échantillonnage. Le signal échantillonné reste continu en amplitude tant qu'il n'est pas quantifié. Pour qu'un signal de fréquence maximale utile \(f_{max}\) soit intégralement reconstructible à partir de ses échantillons, il faut respecter le théorème de Shannon-Nyquist :

\[f_e > 2f_{max}\]

Si cette condition n'est pas respectée, on observe un repliement de spectre (aliasing) : les composantes spectrales au-delà de la fréquence de Nyquist \(f_e/2\) se replient et se superposent aux basses fréquences. Cette perte d'information est irréversible dès l'acquisition ; seul un filtre anti-repliement (passe-bas analogique) placé avant l'échantillonneur en protège.

La quantification discrétise ensuite l'amplitude. Un convertisseur analogique-numérique (CAN) codé sur \(n\) bits distingue \(2^n\) niveaux sur sa pleine échelle \(V_{PE}\). Le pas de quantification \(q\) vaut :

\[q = \frac{V_{PE}}{2^n}\] erreur de quantification maximale associée : \(\pm q/2\).
Pièges classiques :
  • Confondre \(f_e\) et la fréquence du signal \(f_{signal}\) : l'inégalité de Shannon compare \(f_e\) à \(2f_{max}\), pas à \(f_{signal}\) seul, dès que le signal contient des harmoniques (cas fréquent en TP, spectre non purement monochromatique).
  • Croire le repliement rattrapable après coup : un traitement numérique postérieur à l'acquisition ne restitue jamais l'information perdue par sous-échantillonnage.
  • Confondre résolution et précision : la résolution \(q = V_{PE}/2^n\) est une propriété du codage binaire ; la précision réelle du CAN inclut en plus les erreurs de linéarité, d'offset et de gain du composant.
  • Croire que suréchantillonner (augmenter \(f_e\)) améliore la résolution en amplitude : c'est le nombre de bits \(n\) qui la fixe, pas \(f_e\).