Notion

Champ électrostatique et loi de Coulomb

L'électrostatique étudie les interactions entre charges électriques au repos. La loi de Coulomb donne la force qu'exerce une charge ponctuelle sur une autre ; le champ électrostatique reformule cette interaction comme une propriété de l'espace créée par une charge source, définie en tout point même en l'absence d'une charge pour la « sentir ».

Loi de Coulomb : la force exercée par une charge ponctuelle \(q_1\) placée en \(P\) sur une charge ponctuelle \(q_2\) placée en \(M\) est \[ \vec{F}_{1 \to 2} = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{q_1 q_2}{PM^2}\, \vec{u}_{PM} \] où \(\vec{u}_{PM}\) est le vecteur unitaire orienté de la source \(P\) vers le point \(M\), et \(\varepsilon_0 \approx 8{,}854\times 10^{-12}\ \mathrm{F\cdot m^{-1}}\) la permittivité du vide.

Le champ électrostatique \(\vec{E}(M)\) créé par cette même charge \(q\) en \(P\) est défini au point \(M\) par \[ \vec{E}(M) = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{q}{PM^2}\, \vec{u}_{PM} \] Une charge test \(q_0\) placée en \(M\) y subit alors la force \(\vec{F} = q_0\, \vec{E}(M)\) : le champ existe indépendamment de \(q_0\), la force n'apparaît qu'avec elle.

Principe de superposition (CPGE) : pour une distribution de \(n\) charges ponctuelles \(q_i\) placées en \(P_i\), le champ résultant en \(M\) est la somme vectorielle des champs créés par chaque charge prise isolément, \[ \vec{E}(M) = \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{q_i}{P_iM^2}\, \vec{u}_{P_iM} \] Ce principe se généralise par intégration aux distributions continues de charge (linéique, surfacique, volumique).

Pièges classiques :
  • Champ vs force. Le champ \(\vec{E}\) est une propriété de l'espace, il n'a pas de sens de « pousser » en lui-même ; c'est la force \(\vec{F} = q_0\vec{E}\), qui n'existe qu'une fois une charge \(q_0\) introduite.
  • Orientation pour une charge négative. Si la charge source est négative, le vecteur \(\vec{E}\) créé pointe vers elle, et non depuis elle : source d'erreur de signe fréquente dans les applications numériques et les tracés de lignes de champ.
  • Sens du vecteur unitaire. \(\vec{u}_{PM}\) va toujours de la source \(P\) vers le point \(M\) où l'on évalue le champ ou la force ; l'inverser change le signe du résultat.

La structure en \(1/r^2\) de la loi de Coulomb est formellement analogue à celle de la loi de gravitation universelle, ce qui en fait un bon point d'ancrage pour motiver la notion de champ au niveau secondaire.