Physique · Sujet officiel n°21 · Session 2027

Ondes stationnaires

Partie 1 : Première → PCSIPartie 2 : PC/PSIPremiumMise à jour 2026-07-12

Prérequis : onde progressive périodique, longueur d'onde \(\lambda\), fréquence \(f\), célérité \(c\) et relation \(\lambda=c/f\) ; principe de superposition ; réflexion d'une onde à une extrémité ; en Enseignement scientifique de Première, notions de fréquence fondamentale et d'harmoniques d'un son musical ; en CPGE : représentation d'une onde, dérivées partielles, équation de d'Alembert de la corde, notion d'impédance et de spectre (FFT). Les interférences (sujet n°6) sont mobilisées comme cadre (une onde stationnaire est une superposition de deux ondes cohérentes contra-propagatives). Matériel : corde vibrante de Melde (vibreur électromagnétique + GBF, poulie de renvoi, jeu de masses marquées, corde de masse linéique connue), stroboscope, mètre ruban ; simulation PhET « Onde sur une corde » ; en CPGE : tube de Kundt ou tube à résonance de colonne d'air (haut-parleur + GBF, microphone sur tige coulissante), diapason étalonné 440 Hz et éprouvette d'eau réglable, sonomètre ou micro + carte d'acquisition (Sysam/LatisPro), traitement Python (numpy/scipy, FFT) ou Regressi.

Plan de leçon

Introduction : la corde de guitare, le tuyau d'orgue, le verre qui chante — pourquoi un instrument ne joue-t-il que des notes discrètes ? Poser le fil conducteur : confiner une onde, c'est la quantifier.
I. De l'onde progressive à l'onde stationnaire (Première → PCSI) : réflexion et onde retour, superposition de deux ondes contra-propagatives, \(\psi(x,t)=2A\cos(kx)\cos(\omega t)\), découplage espace/temps, nœuds et ventres, modes propres par la musique (fₙ=nf₁) + manip 1 (corde de Melde qualitative).
II. Quantification par les conditions aux limites (PC/PSI) : équation de d'Alembert de la corde, \(c=\sqrt{T/\mu}\), réflexion aux bords (\(r=\pm1\)), corde fixée-fixée \(f_n=nc/2L=nf_1\) + manip 2 (Melde quantitatif, régression \(c^2\) vs \(T\)).
III. Énergie confinée et acoustique des tuyaux (PC/PSI) : démonstration du flux d'énergie de moyenne nulle en régime stationnaire, nœud de pression ≠ nœud de déplacement, tubes ouvert/fermé + manip 3 (colonne d'air résonante, FFT et harmonicité).
Conclusion et ouverture : liens vers interférences (6) et diffraction (7), ondes acoustiques (2), cavités laser et quantification en boîte (particule dans un puits).

Introduction

Une corde de guitare, pincée n'importe comment, ne produit jamais un son quelconque : elle « choisit » une note fondamentale et ses harmoniques, toujours les mêmes tant qu'on ne change ni sa longueur ni sa tension. Un tuyau d'orgue de longueur donnée sonne une hauteur fixée ; un verre à pied « chante » à une fréquence propre quand on frotte son bord. Dans les trois cas, un milieu continu, qui pourrait a priori vibrer à n'importe quelle fréquence, se met à ne répondre qu'à une suite discrète de fréquences.

Le mécanisme est le même partout : on a confiné une onde entre deux bornes (les deux sillets de la corde, les deux extrémités du tuyau). L'onde s'y réfléchit, revient sur elle-même, se superpose à son propre écho, et il n'existe alors qu'un jeu de vibrations compatibles avec les bords : les modes propres. C'est le fil conducteur de cette leçon, et son slogan : confiner une onde, c'est la quantifier. La quantification des fréquences musicales est, historiquement et pédagogiquement, la première « quantification » que rencontre un élève, bien avant la physique quantique.

Nous suivrons la chaîne logique de bout en bout : réflexion \(\rightarrow\) onde retour \(\rightarrow\) onde stationnaire \(\rightarrow\) conditions aux limites \(\rightarrow\) quantification des fréquences propres. Un point de vigilance dès le départ : une onde stationnaire n'est pas un cas particulier d'onde progressive « qui se propagerait lentement ». C'est un objet de nature différente, la superposition de deux ondes progressives contra-propagatives, avec des nœuds rigoureusement immobiles.

I. De l'onde progressive à l'onde stationnaire Première → PCSI

Envoyons une onde progressive sinusoïdale le long d'une corde tendue, vers une extrémité qui la réfléchit. Il coexiste alors deux ondes de même fréquence et de même amplitude, se propageant en sens opposés : l'onde incidente (vers les \(x\) croissants) et l'onde réfléchie (vers les \(x\) décroissants). Leur superposition ne ressemble à aucune des deux : c'est une onde stationnaire.

Onde progressive vs onde stationnaire. Dans une onde progressive \(\psi=A\cos(\omega t-kx)\), la phase \(\omega t - kx\) couple espace et temps : un profil se déplace à la célérité \(c=\omega/k\) et transporte de l'énergie. Dans une onde stationnaire, le profil ne se déplace pas : il existe des points, les nœuds, qui restent immobiles à tout instant, et entre eux des ventres où l'amplitude de vibration est maximale. Tous les points situés entre deux nœuds voisins (un fuseau) vibrent en phase ; seule leur amplitude, pas leur phase, dépend de la position.

Une onde stationnaire est une superposition. Elle naît de deux ondes progressives cohérentes de même amplitude et même fréquence se propageant en sens contraires. C'est le pont direct avec les interférences (sujet n°6) : ici, les deux ondes qui interfèrent ne se croisent pas dans un plan, elles se superposent partout le long de la corde, et le résultat de l'interférence est figé dans l'espace.

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