Agrégation interne 2021 — Composition de physique : corrigé complet

Partie I — Accéléromètre MEMS

I.A Comportement mécanique de l'accéléromètre

Le modèle est réduit à une dent mobile de masse \(m = 0{,}14\times 10^{-9}\ \mathrm{kg}\), rappelée vers sa position de repos par deux ressorts identiques de raideur \(k = 1{,}2\ \mathrm{N\,m^{-1}}\) et de longueur à vide \(\ell_0\), et freinée par deux amortisseurs de coefficient \(\alpha = 4{,}5\times 10^{-6}\ \mathrm{kg\,s^{-1}}\). L'axe \((O\vec{u}_x)\) est lié au bâti de l'accéléromètre, l'origine \(O\) coïncidant avec la position de \(M\) au repos dans ce bâti ; \(x(t)\) repère le centre de masse de \(M\) sur cet axe.

Deux référentiels interviennent, et c'est le point de rigueur de toute la partie : le référentiel du laboratoire \(\mathcal{R}_{\mathrm{lab}}\), supposé galiléen, et le référentiel du bâti \(\mathcal{R}_{\mathrm{b}}\), en translation par rapport au précédent avec l'accélération d'entraînement \(\vec{a}_e(t) = a_e(t)\,\vec{u}_x\). C'est dans \(\mathcal{R}_{\mathrm{b}}\), non galiléen, qu'on étudie le mouvement, puisque c'est le déplacement relatif de la masse par rapport au bâti que l'électronique sait mesurer.

Au repos (\(x = 0\)), l'énoncé précise que la longueur de chaque ressort vaut \(\ell_0\), c'est-à-dire sa longueur à vide : aucun des deux n'est précontraint, ce qui est l'hypothèse qui fait tomber tous les termes constants.

Le résultat est valable quel que soit le signe de \(x\) : pour \(x<0\) les rôles des deux ressorts s'échangent, et l'expression, linéaire et impaire, reste la même. C'est exactement ce que signifie « établir soigneusement » dans l'énoncé : il faut avoir traité l'allongement et la compression, pas seulement invoqué \(F = -kx\).

Le référentiel du bâti est en translation (non rectiligne uniforme) par rapport au laboratoire : son vecteur rotation est nul, donc la force d'inertie de Coriolis est nulle et il ne subsiste que la force d'inertie d'entraînement. De plus, en translation, l'accélération d'entraînement d'un point coïncidant est la même pour tous les points : c'est \(\vec{a}_e(t)\).

Le signe moins est le cœur du dispositif : c'est parce que la masse « part en arrière » quand le bâti accélère vers l'avant qu'un déplacement relatif apparaît et qu'il y a quelque chose à mesurer.

Système : la dent mobile \(M\), de masse \(m\), assimilée à un point matériel. Référentiel : \(\mathcal{R}_{\mathrm{b}}\), lié au bâti, non galiléen. Bilan des forces : les deux forces de rappel, la résultante des amortisseurs \(\vec{F}_{\mathrm{tot}} = -2\alpha\,\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\,\vec{u}_x\), la force d'inertie d'entraînement, et enfin le poids et la réaction du guidage, qui se compensent et sont orthogonaux à \(\vec{u}_x\) — ils disparaissent à la projection.

Le principe fondamental de la dynamique dans \(\mathcal{R}_{\mathrm{b}}\), projeté sur \(\vec{u}_x\) :

Contrôle d'homogénéité immédiat : chaque terme est en \(\mathrm{m\,s^{-2}}\), et le second membre est bien une accélération. C'est l'équation d'un oscillateur harmonique amorti excité par sa base — le même objet mathématique qu'un sismomètre, ce qui justifie le nom de « masse sismique ».

L'identification terme à terme avec la forme canonique \(\ddot{x} + \dfrac{\omega_0}{Q}\dot{x} + \omega_0^2 x = -a_e\) donne \(\omega_0^2 = \dfrac{2k}{m}\) et \(\dfrac{\omega_0}{Q} = \dfrac{2\alpha}{m}\), d'où :

\(Q\) est bien sans dimension : \(\sqrt{2km}\) est en \(\sqrt{\mathrm{N\,m^{-1}\cdot kg}} = \mathrm{kg\,s^{-1}}\), homogène à \(\alpha\). Le vérifier coûte une ligne et sécurise la suite.

On pose \(a_e(t) = A\cos(\omega t)\), soit \(\underline{a_e}(t) = A\,\mathrm{e}^{\,\mathrm{j}\omega t}\), et on cherche le régime sinusoïdal forcé établi sous la forme \(\underline{x}(t) = \underline{X}(\omega)\,\mathrm{e}^{\,\mathrm{j}\omega t}\). La dérivation temporelle devient une multiplication par \(\mathrm{j}\omega\), et l'équation (1) donne, après simplification par \(\mathrm{e}^{\,\mathrm{j}\omega t}\) qui ne s'annule jamais :

C'est, à une constante près, la fonction de transfert d'un passe-bas du second ordre : gain constant \(1/\omega_0^2\) en basse fréquence, décroissance asymptotique en \(-40\ \mathrm{dB/décade}\) en haute fréquence.

La marche humaine a une fréquence fondamentale de l'ordre de \(1\) à \(2\ \mathrm{Hz}\), et son contenu harmonique utile ne dépasse pas quelques dizaines de hertz. C'est très inférieur à la fréquence propre du microsystème (\(f_0 \approx 21\ \mathrm{kHz}\), calculée à Q7). On est donc dans le régime quasi statique \(\omega \ll \omega_0\), où le dénominateur se réduit à son terme constant :

Le déplacement relatif est alors proportionnel à l'accélération, sans déphasage ni distorsion : le capteur est linéaire et instantané. La condition est que tout le contenu spectral de \(a_e(t)\), fondamental et harmoniques, soit contenu dans la bande où le gain est plat, c'est-à-dire \(\omega \ll \omega_0\). Si une composante spectrale approchait \(\omega_0\), elle serait amplifiée par la résonance et déphasée : le signal mesuré ne serait plus l'image fidèle de \(a_e(t)\).

Remarquons le sens physique du signe : quand le bâti accélère vers les \(x\) croissants, la masse recule dans le référentiel du bâti. Et le facteur \(m/2k\) dit qu'un capteur sensible demande une masse grande et des ressorts mous — au prix d'une bande passante réduite, puisque \(\omega_0\) diminue. C'est l'arbitrage central de la conception d'un accéléromètre.

Applications numériques. Avec \(m = 0{,}14\times 10^{-9}\ \mathrm{kg}\), \(k = 1{,}2\ \mathrm{N\,m^{-1}}\) et \(\alpha = 4{,}5\times 10^{-6}\ \mathrm{kg\,s^{-1}}\) :

Comparaison avec le composant réel. La courbe de réponse de l'ADXL1001 présente un pic marqué autour de \(20\ \mathrm{kHz}\) : l'accord avec le modèle à deux ressorts et deux amortisseurs est excellent, à mieux que \(10\ \%\). Le fait même qu'un pic existe impose \(Q > 1/\sqrt{2}\) (Q5) ; la hauteur du pic par rapport au plateau basse fréquence donne l'ordre de grandeur : pour un second ordre, le facteur de surtension vaut \(\dfrac{Q}{\sqrt{1-1/(4Q^2)}}\), soit environ \(Q\) dès que \(Q\) dépasse quelques unités. Un pic à quelques unités au-dessus de la valeur statique correspond donc à \(Q\) de l'ordre de quelques unités, en accord avec \(Q \approx 2\).

Domaine d'utilisation. Le composant ne s'emploie que dans la zone où le gain ne dépend pas de la fréquence, c'est-à-dire bien en deçà de la résonance : typiquement \(f \lesssim 10^{3}\ \mathrm{Hz}\), soit à peu près \(f_0/20\). Au-delà, la réponse commence à remonter et la mesure serait biaisée par un facteur dépendant de la fréquence.

Origine de la limitation à \(\pm 100\,\mathcal{g}\). À \(100\,\mathcal{g}\), le déplacement quasi statique vaut

soit \(58\ \mathrm{nm}\), à comparer à \(d = 0{,}65\ \mathrm{\mu m}\) : la dent mobile parcourt déjà près de \(10\ \%\) de l'espace inter-électrodes. Deux limites apparaissent ensemble. (1) Mécanique : la loi de Hooke \(\vec{F}_1+\vec{F}_2 = -2kx\,\vec{u}_x\) n'est valable que dans le domaine élastique linéaire des microstructures de rappel ; au-delà, des termes non linéaires en \(x^2, x^3\) apparaissent, l'étalonnage se fausse, et une déformation plastique ou une rupture devient possible. (2) Électrique : la relation entre capacité et déplacement n'est linéarisable que pour \(x \ll d\) (Q15), et la butée mécanique à \(x = d\) est atteinte pour \(a_e \approx 10^{3}\,\mathcal{g}\). Le constructeur borne donc la gamme bien avant.

Cadrage de niveau. On est en classe de troisième, cycle 4. L'extrait de programme fourni (annexe 2) ne mentionne aucun outil statistique : ni moyenne au sens métrologique, ni écart type, ni incertitude type. Ce qui y figure, c'est « mesurer des grandeurs physiques de manière directe ou indirecte », « interpréter des résultats expérimentaux, en tirer des conclusions et les communiquer en argumentant » et « développer des modèles simples ». L'incertitude doit donc être abordée qualitativement, par la dispersion constatée, avec des mots d'élèves : « on ne retrouve pas exactement la même valeur », « les résultats sont groupés entre telle et telle valeur ».

Expérience 1 (smartphone, application phyphox). L'élève lit une courbe qui fluctue au cours du temps, entre environ \(9{,}80\) et \(9{,}835\ \mathrm{m\,s^{-2}}\) sur la copie d'écran. Exploitation possible en classe : faire constater que la valeur affichée n'est pas unique et change d'un instant à l'autre, donc qu'une mesure isolée ne suffit pas ; faire relever la valeur la plus petite et la plus grande ; conclure que \(\mathcal{g}\) est « connu à quelques centièmes près » avec cet appareil. On peut aussi comparer les écrans obtenus par les différents groupes, ce qui introduit la notion de variabilité entre expérimentateurs sans jamais prononcer le mot « écart type ».

Expérience 2 (dynamomètre et masses marquées). Elle est de nature différente : c'est une mesure indirecte, qui passe par un modèle, la proportionnalité \(P = m\mathcal{g}\). Trois sources de dispersion s'y ajoutent : la lecture de l'aiguille du dynamomètre, la qualité des masses marquées, et le tracé de la droite moyenne. Exploitation possible : faire tracer, sur le graphique \(P = f(m)\), deux droites extrêmes passant encore raisonnablement par les points, et lire les deux pentes correspondantes ; c'est une entrée graphique et concrète dans l'idée d'intervalle. Puis exploiter les \(13\) valeurs de la classe :

L'affirmation est à justifier, pas à réfuter. Un pèse-lettre ou un pèse-personne contiennent un élément déformable (ressort, lame équipée de jauges de contrainte, quartz piézoélectrique). Ce qu'ils mesurent est la force exercée par l'objet sur le plateau, c'est-à-dire la valeur du poids \(P\). L'affichage en grammes ou en kilogrammes résulte d'une conversion interne par le constructeur, qui divise par une valeur de \(\mathcal{g}\) fixée une fois pour toutes.

La conséquence est spectaculaire et parlante pour un élève : le même pèse-personne, emporté sur la Lune, afficherait environ six fois moins, alors que la masse de la personne n'a pas changé d'un gramme. L'appareil mesure une force, pas une quantité de matière. C'est exactement la distinction poids/masse inscrite au programme du cycle 4 (annexe 2 : « Pesanteur sur Terre et sur la Lune, différence entre poids et masse (unités) »).

I.B Mesure capacitive

Le plan chargé est pris comme plan \((O'yz)\), \(\vec{u}_x\) lui étant normal.

Invariances. La distribution est invariante par toute translation parallèle au plan, selon \(\vec{u}_y\) comme selon \(\vec{u}_z\). D'après le principe de Curie, les causes engendrant des effets au moins aussi symétriques qu'elles, le champ possède les mêmes invariances : \(\vec{E}\) ne dépend que de \(x\).

Symétries. Tout plan contenant \(\vec{u}_x\) (par exemple \((Mxy)\) et \((Mxz)\)) est plan de symétrie de la distribution de charges. Le champ électrostatique est un vrai vecteur (vecteur polaire) : il appartient à tout plan de symétrie passant par le point considéré. Appartenant simultanément à deux plans de symétrie distincts, il appartient à leur intersection, qui est la droite dirigée par \(\vec{u}_x\).

Relation entre les deux demi-espaces. Le plan chargé lui-même est plan de symétrie de la distribution. Par une symétrie plane par rapport à ce plan, un vrai vecteur voit sa composante normale au plan changée en son opposée, tandis que le point \(M(x)\) est envoyé sur \(M'(-x)\). Le champ étant précisément normal au plan :

La fonction \(E(x)\) est donc impaire. C'est cette relation, et elle seule, qui permettra de sortir le champ du flux à Q12 : sans elle, deux inconnues indépendantes subsisteraient.

où \(\Sigma\) est une surface fermée quelconque (dite surface de Gauss), \(\mathrm{d}\vec{S}\) est orienté vers l'extérieur de \(\Sigma\), et \(Q_{\text{int}}\) est la charge totale contenue à l'intérieur du volume délimité. Les charges extérieures créent un champ en tout point mais ne contribuent pas au flux total.

Le champ est uniforme dans chaque demi-espace, dirigé du plan vers l'infini puisque \(\sigma > 0\), et subit une discontinuité de \(\sigma/\varepsilon_0\) à la traversée de la nappe chargée : c'est la relation de passage générale, retrouvée ici sur un cas particulier.

Les deux armatures portent \(+\sigma\) et \(-\sigma\), et les effets de bord sont négligés (\(S \gg \delta^2\)) : chacune est assimilable à un plan infini, dont on connaît le champ. L'électrostatique étant linéaire, les champs s'additionnent.

Orientons \(\vec{u}_x\) de l'armature \(+\sigma\) vers l'armature \(-\sigma\). Entre les armatures :

• l'armature \(+\sigma\) crée \(\vec{E}_+ = +\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec{u}_x\) (on est du côté \(x>0\) par rapport à elle) ;
• l'armature \(-\sigma\) crée \(\vec{E}_- = +\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec{u}_x\) (on est du côté \(x<0\) par rapport à elle, et sa densité est négative : les deux signes se compensent).

À l'extérieur, les deux contributions se retranchent exactement : le champ est nul, ce qui est la propriété de confinement du condensateur plan.

Capacité. La différence de potentiel entre l'armature positive et l'armature négative vaut, le champ étant uniforme :

La charge portée par l'armature positive est \(q = \sigma S\), et par définition \(C = q/U\) :

Homogénéité : \(\varepsilon_0\) est en \(\mathrm{F\,m^{-1}}\), donc \(\varepsilon_0 S/\delta\) est bien en farads. Sens physique : la capacité croît quand les armatures se rapprochent — c'est précisément ce qui rend un condensateur utilisable comme capteur de déplacement.

La surface en regard de deux dents est le produit de la hauteur par la profondeur :

Les dimensions vérifient \(S \gg d^2\) (ici \(d^2 \approx 4\times 10^{-13}\ \mathrm{m^2}\), soit trois ordres de grandeur en dessous de \(S\)) : le modèle du condensateur plan infini s'applique, et le résultat de Q13 se transpose en remplaçant \(\delta\) par la distance instantanée entre les armatures. Pour le premier condensateur, cette distance vaut \(d + x(t)\) :

Application numérique pour \(x = 0\), avec \(d = 0{,}65\ \mathrm{\mu m}\) et \(\varepsilon_0 = 8{,}85\times 10^{-12}\ \mathrm{F\,m^{-1}}\) :

Commentaire, et c'est ici qu'on applique la consigne du jury de comparer toute grandeur à un étalon. Quelques femtofarads, c'est mille fois moins que la plus petite capacité discrète d'un catalogue de composants (le picofarad), et surtout c'est très inférieur aux capacités parasites des pistes, connexions et entrées d'amplificateur, qui atteignent aisément quelques picofarads. Deux conséquences de conception, toutes deux visibles sur la figure 1 du sujet et dans la suite du problème : (1) on multiplie les dents en peigne pour mettre en parallèle des centaines de condensateurs élémentaires et remonter à une capacité exploitable ; (2) on ne mesure jamais \(C_1\) seule, mais la différence relative entre \(C_1\) et \(C_2\), dans laquelle les parasites communs se compensent au premier ordre. C'est tout l'objet de la partie C.

On met les deux expressions au même dénominateur \(d^2 - x^2\) :

Ce résultat est remarquable et mérite un commentaire, car il porte tout le dispositif : le rapport est rigoureusement linéaire en \(x\), sans aucune approximation de type \(x \ll d\), et surtout il ne dépend plus ni de \(\varepsilon_0\), ni de \(S\), ni d'aucune caractéristique géométrique autre que \(d\). La mesure différentielle élimine donc d'un coup les dérives de surface, la permittivité (et donc l'humidité résiduelle), et la valeur absolue des capacités parasites symétriques. C'est la raison d'être de l'architecture à deux condensateurs et du montage de la partie C, dont toute la fonction sera d'extraire électroniquement ce rapport.

I.C Conditionnement du signal

Le principe : on excite les deux condensateurs par deux signaux carrés en opposition de phase à \(f_0' = 200\ \mathrm{kHz}\), très au-dessus du contenu spectral de l'accélération, puis on démodule. C'est une détection synchrone, et la reconnaître dès la lecture de la figure 6 fait gagner beaucoup de temps sur Q17 à Q27.

Le signal vaut \(V_M\) pendant une demi-période et \(0\) pendant l'autre :

La figure 7(b) donne le spectre du carré : une composante continue, un fondamental à \(f_0'\) d'amplitude \(2V_M/\pi\), puis les harmoniques impairs \(3f_0', 5f_0', \ldots\) d'amplitudes décroissantes en \(1/n\). L'énoncé autorise à négliger tout ce qui est au-delà du fondamental, puisque les bandes passantes des composants ne les transmettent pas. Il reste la valeur moyenne calculée à Q16 et le fondamental :

Pour \(V_2\), le retard d'une demi-période se traduit sur le fondamental par un déphasage de \(\pi\), car \(\Omega \dfrac{T}{2} = 2\pi f_0' \dfrac{T}{2}= \pi\) :

La valeur moyenne, elle, est inchangée par un décalage temporel. D'où :

Les deux excitations sont donc en opposition de phase autour de la même valeur moyenne. C'est cette antisymétrie qui fera apparaître la différence \(C_1 - C_2\) et non leur somme dans la suite.

Tous les courants sont orientés vers le nœud \(A\), en convention récepteur pour chaque dipôle traversé. En régime sinusoïdal forcé à la pulsation \(\Omega\), l'impédance d'un condensateur est \(\underline{Z}_C = \dfrac{1}{\mathrm{j}C\Omega}\), donc son admittance est \(\underline{Y}_C = \mathrm{j}C\Omega\), et le courant s'obtient en multipliant la tension par l'admittance :

La branche \(i_4\) relie \(A\) à la masse, d'où le potentiel nul à son autre extrémité ; la branche \(i_3\) relie \(A\) à l'alimentation continue \(+V_M\). Les courants d'entrée du multiplieur sont nuls par hypothèse (impédance d'entrée très grande), donc aucune autre branche ne prélève de courant en \(A\).

La loi des nœuds en \(A\), avec les quatre courants orientés vers \(A\), s'écrit \(\underline{i}_1 + \underline{i}_2 + \underline{i}_3 + \underline{i}_4 = 0\), soit :

On repasse en temporel en utilisant la correspondance \(\mathrm{j}\Omega \longleftrightarrow \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\), valable terme à terme puisque l'équation est linéaire à coefficients constants — c'est exactement l'argument que l'énoncé invoque quand il annonce que « l'équation obtenue reste vraie pour tout type de signal » :

Noter que les deux résistances \(R\) en parallèle vues du nœud \(A\) donnent le terme \(2V_3/R\) : le pont diviseur impose au repos \(V_3 = V_M/2\), ce qui polarise le montage à mi-alimentation. C'est une architecture d'électronique à alimentation unique, très courante dans les circuits intégrés de capteurs.

On divise (2) par \(C_1+C_2\). Le terme de gauche fait apparaître \(\dfrac{2}{R(C_1+C_2)} = \dfrac{1}{\tau}\). À droite, les deux dérivées des constantes \(V_M/2\) s'annulent, et les termes en sinus se regroupent :

Enfin \(\dfrac{V_M}{R(C_1+C_2)} = \dfrac{V_M}{2\tau}\).

\(\tau\) est bien un temps (produit d'une résistance par une capacité), et l'information cherchée, \(\dfrac{C_1-C_2}{C_1+C_2} = -\dfrac{x}{d}\), apparaît désormais isolée en facteur du terme d'excitation. Toute la suite consiste à l'extraire.

Le circuit se comporte, vis-à-vis de l'excitation à \(\Omega\), comme un intégrateur : c'est ce qui transforme le \(\cos\) de l'équation (3) en \(\sin\) et fait disparaître le facteur \(\Omega\), donc toute dépendance en fréquence. Physiquement, à \(\Omega\tau \gg 1\) l'impédance des condensateurs est faible devant \(R\) : le nœud \(A\) suit la répartition capacitive, et l'amplitude ne dépend plus que du rapport des capacités. On voit ici le second bénéfice de la mesure différentielle.

Le multiplieur délivre \(V_4(t) = K\,V_3(t)\,V_1(t)\). En posant \(\kappa = \dfrac{C_1-C_2}{C_1+C_2}\) pour alléger :

On linéarise le carré avec \(\sin^2(\Omega t) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\cos(2\Omega t)\), et l'on regroupe par fréquence. Trois composantes seulement apparaissent, exactement comme sur la figure 8 :

C'est le cœur de la méthode : l'information utile a été translatée de la fréquence \(\Omega\) vers la fréquence nulle. Le terme \(A\) contient \(\kappa\), donc \(x(t)\), dans une composante continue, alors que le bruit et les parasites du montage restent à \(\Omega\) et \(2\Omega\), où un simple passe-bas les éliminera. On notera que \(C = -A + K(V_M/2)^2\) au signe près du terme constant : les amplitudes \(A\) et \(C\) portent la même information, le spectre de la figure 8 est donc cohérent avec \(B\) nettement plus grand que \(A\) et \(C\) tant que \(|x| \ll d\).

\(20\log_{10}\left|\dfrac{V_5}{V_4}\right| = +20\ \mathrm{dB}\) correspond à un gain en tension de \(10\).

La rétroaction est bien ramenée sur l'entrée inverseuse : c'est la condition de stabilité du fonctionnement linéaire. Un montage inverseur de gain \(-10\) (avec \(R_2 = 10R_1\)) conviendrait également, au prix d'une inversion de signe et d'une impédance d'entrée finie égale à \(R_1\).

L'autre intérêt, qui est la vraie question : l'adaptation d'impédance. La sortie d'un ALI a une impédance de sortie très faible (quelques ohms, idéalement nulle), et son entrée non inverseuse une impédance d'entrée très grande. Le montage se comporte donc en étage tampon : il ne charge pas le multiplieur en amont, et il attaque le filtre \(R_fC_f\) en aval comme le ferait une source de tension idéale. Conséquence pratique décisive : la fonction de transfert du filtre RC, calculée à vide à Q24, reste valable une fois le filtre connecté, et l'on peut multiplier les fonctions de transfert des étages en cascade. Sans ce tampon, le filtre chargerait le multiplieur et la mise en cascade serait fausse.

Le courant d'entrée de l'étage suivant étant nul, \(R_f\) et \(C_f\) forment un simple diviseur de tension, la sortie étant prise aux bornes de \(C_f\) :

Gain unité et déphasage nul en très basse fréquence, gain \(1/\sqrt{2}\) (soit \(-3\ \mathrm{dB}\)) en \(\omega_c\), décroissance à \(-20\ \mathrm{dB/décade}\) au-delà.

Le filtre doit satisfaire deux contraintes opposées, et c'est l'encadrement qui est demandé, pas une valeur.

Contrainte haute (éliminer la porteuse). Les composantes à \(\Omega\) et \(2\Omega\) doivent être fortement atténuées, seule \(A\) devant subsister. On impose classiquement une décade de marge, \(\omega_c \le \Omega/10\) :

ce qui garantit une atténuation d'au moins un facteur \(10\) à \(\Omega\), et \(20\) à \(2\Omega\).

Contrainte basse (suivre l'accélération). \(V_s(t)\) doit reproduire sans déformation les variations de \(x(t)\), dont les temps caractéristiques sont très supérieurs à \(T = 5\ \mathrm{\mu s}\). En prenant comme bande utile de l'accéléromètre \(f_{\text{utile}} \approx 1\ \mathrm{kHz}\) (valeur justifiée à Q7), il faut \(\omega_c \gg 2\pi f_{\text{utile}}\) :

La plage est large de plus d'une décade parce que la porteuse à \(200\ \mathrm{kHz}\) est deux décades au-dessus du signal utile : c'est tout l'intérêt d'avoir choisi une fréquence d'excitation très élevée. Le compromis de tout dispositif à modulation se lit ici directement.

Le schéma en porte les trois signatures : (1) modulation de la grandeur lente \(x(t)\) par une porteuse haute fréquence \(\Omega\) ; (2) multiplication du signal modulé par la référence issue du même oscillateur, donc de fréquence et de phase rigoureusement identiques, ce qui est le sens du mot « synchrone » ; (3) filtrage passe-bas qui ne conserve que le terme continu. L'intérêt est la réjection du bruit : seules survivent les composantes du signal d'entrée situées dans une bande étroite autour de \(\Omega\), toutes les autres, dont le bruit en \(1/f\) de l'électronique et le \(50\ \mathrm{Hz}\) du secteur, sont rejetées.

Après l'amplificateur de gain \(10\) et le filtre passe-bas, il ne reste de \(V_4\) que sa composante continue \(A\), multipliée par \(10\). Avec \(\kappa = \dfrac{C_1-C_2}{C_1+C_2} = -\dfrac{x(t)}{d}\) (Q15) et \(V_{01} = \dfrac{2V_M}{\pi}\) (Q17) :

Oui, le montage mesure bien une accélération, et la chaîne complète se lit d'un trait. En régime quasi statique (Q6), \(x(t) = -\dfrac{a_e(t)}{\omega_0^{2}}\), donc

\(V_s\) est une fonction affine de l'accélération : la partie constante \(\beta V_M^2/4\) est l'offset du capteur (la tension délivrée à accélération nulle, que l'on retrouvera mesurée expérimentalement à Q31, autour de \(1{,}65\ \mathrm{V}\) pour l'ADXL335), et le coefficient du terme en \(a_e\) est la sensibilité du capteur, en \(\mathrm{V}\) par \(\mathrm{m\,s^{-2}}\) ou, comme la donne le constructeur, en \(\mathrm{V}\) par \(\mathcal{g}\). Deux réserves à mentionner pour être complet : la mesure n'est valable que dans la bande passante quasi statique, et la constante \(K\) du multiplieur doit être connue, ce qui impose un étalonnage — exactement celui que les élèves réaliseront à Q32.

I. Résolution de problème : déclenchement d'un airbag

Trois questions ouvertes, sans donnée numérique imposée au-delà de l'annexe 3 : le jury attend une démarche, des ordres de grandeur assumés, et surtout une comparaison chiffrée conduisant à un critère. Rédiger les hypothèses est ici plus important que la précision du résultat.

Estimons le temps caractéristique du phénomène. Le véhicule arrive à \(56\ \mathrm{km\,h^{-1}} = 15{,}6\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) et s'immobilise en écrasant sa zone de déformation programmée, longue de l'ordre de \(0{,}5\) à \(1\ \mathrm{m}\). Avec une décélération supposée uniforme, la durée du choc vaut :

soit quelques dizaines de millisecondes ; le déploiement du coussin lui-même est encore plus rapide, de l'ordre de \(20\) à \(30\ \mathrm{ms}\). Or une caméra à \(100\ \mathrm{images\,s^{-1}}\) ne fournit qu'une image toutes les \(10\ \mathrm{ms}\), et à \(25\ \mathrm{images\,s^{-1}}\) une toutes les \(40\ \mathrm{ms}\).

Deux exigences contradictoires structurent la réponse, et c'est leur confrontation qui est attendue.

Il faut détecter tôt. Le coussin doit être entièrement gonflé avant que le buste du conducteur n'ait parcouru la distance qui le sépare du volant. Le gonflage demandant \(20\) à \(30\ \mathrm{ms}\), la décision doit être prise dans les premières millisecondes du choc. Cela plaide pour un capteur à l'avant, là où la décélération apparaît en premier : lors d'un choc contre un mur, l'avant du véhicule se déforme tandis que l'habitacle continue d'avancer à vitesse quasi constante pendant plusieurs millisecondes.

Il ne faut pas déclencher à tort. Un capteur placé sur la peau du pare-chocs déclencherait au moindre heurt de parking, ce qui est inacceptable (un coussin est à usage unique, coûteux, et dangereux s'il se déploie sans raison).

Soit environ \(0{,}95\,\mathcal{g}\). Ce résultat n'a rien d'un hasard : la décélération maximale d'un pneumatique sur route sèche est limitée par le coefficient de frottement, de l'ordre de l'unité, donc par \(\mu\mathcal{g} \approx \mathcal{g}\). Un freinage, aussi violent soit-il, ne peut pas dépasser sensiblement \(1\,\mathcal{g}\).

Deux remarques d'honnêteté physique qu'il faut écrire. (1) La valeur \(10\,\mathcal{g}\) est une sous-estimation : elle moyenne la décélération sur \(75\ \mathrm{ms}\), alors que le pare-chocs, lui, est déjà arrêté ; en prenant les instants les plus proches du contact on trouverait plusieurs dizaines de \(\mathcal{g}\), ce qui rejoint l'estimation directe \(v^2/(2\ell) = 15{,}6^{2}/(2\times 0{,}6) \approx 2\times 10^{2}\ \mathrm{m\,s^{-2}}\). C'est d'ailleurs cohérent avec la gamme \(\pm 100\,\mathcal{g}\) de l'ADXL1001 de Q7, choisie précisément pour ce type d'application. (2) Il ne faut pas exploiter la rotation de la roue pour construire l'échelle des temps : lors du choc, le roulement s'accompagne d'un glissement croissant, et la relation \(v = R\dot{\theta}\) devient fausse.

I.D Utilisation d'un accéléromètre MEMS en terminale spécialité

Quatre QP consécutives, soit environ \(12{,}5\) points de notre barème indicatif, sans un seul calcul de physique. Le contexte : un module ADXL335 lu par un microcontrôleur qui affiche un entier entre \(0\) et \(1024\), correspondant linéairement à une tension entre \(0\) et \(5{,}0\ \mathrm{V}\). Capteur horizontal : \(A_X = 341\), \(A_Y = 342\), \(A_Z = 414\).

Ce que le programme demande. L'extrait de terminale générale fourni en annexe 4 est explicite : « procéder à l'évaluation d'une incertitude-type par une approche statistique (évaluation de type A) », « écrire, avec un nombre adapté de chiffres significatifs, le résultat d'une mesure », et « comparer le résultat d'une mesure à une valeur de référence en utilisant le quotient \(\left|m_{\text{mes}}-m_{\text{réf}}\right|/u(m)\) ». Les trois capacités sont mobilisées ici, dans cet ordre.

Traitement de la série. Sur \(N = 883\) mesures réparties en \(341\) (33 fois), \(342\) (836 fois) et \(343\) (14 fois) :

L'écart type expérimental de la série vaut \(\sigma = 0{,}230\), et l'incertitude type sur la moyenne s'en déduit :

Le point de méthode que l'élève doit avoir compris : on ne conserve qu'un seul chiffre significatif sur l'incertitude type, et on arrondit la valeur à la même position décimale. Écrire \(341{,}97848 \pm 0{,}00773\) serait aussi faux qu'écrire \(342 \pm 0{,}008\).

Réponse à la question 1 de l'activité (tension d'offset). La conversion est linéaire, \(1024\) correspondant à \(5{,}0\ \mathrm{V}\) :

Comparaison argumentée avec la donnée constructeur (\(1{,}65\ \mathrm{V}\) à \(0\,\mathcal{g}\)), qui est la vraie attente de la question. L'incertitude type de type A transportée sur la tension vaut \(u(U) = 0{,}008\times 5{,}0/1024 = 4\times 10^{-5}\ \mathrm{V}\), de sorte que le quotient du programme vaut

Conclusion à faire formuler par l'élève : les deux valeurs sont très éloignées au regard de la seule dispersion statistique. Cela ne signifie pas que la mesure est fausse, mais que l'incertitude de type A ne suffit pas à décrire la situation : il manque les composantes de type B (quantification du convertisseur, soit un pas de \(5{,}0/1024 = 4{,}9\ \mathrm{mV}\) ; tolérance de fabrication du capteur, que le constructeur donne d'ailleurs comme une valeur « environ » ; incertitude sur la tension d'alimentation). Une fois ces contributions prises en compte, l'écart de \(20\ \mathrm{mV}\), soit quatre pas de quantification, devient parfaitement acceptable.

Définir d'abord avec des mots, ensuite avec une relation. La sensibilité \(s\) d'un capteur est la variation de la grandeur de sortie (ici la tension \(U\)) rapportée à la variation de la grandeur d'entrée qui l'a produite (ici l'accélération \(a\)) :

Application aux mesures fournies. Capteur horizontal, l'axe \(Z\) est déjà vertical : il subit \(1\,\mathcal{g}\) et affiche \(A_Z = 414\), tandis que les axes horizontaux, à accélération nulle, affichent \(A_X = 341\) et \(A_Y = 342\). Un basculement de \(90^\circ\) fait donc passer un axe de \(342\) à \(414\) environ :

À comparer à la donnée constructeur « sensibilité (minimum) : \(300\ \mathrm{mV}/\mathcal{g}\) » : la valeur mesurée est compatible, légèrement supérieure au minimum garanti, ce qui est le cas normal. Écart signalé : le corrigé officiel obtient \(356\ \mathrm{mV}/\mathcal{g}\) en prenant \(\Delta A = 73\) (soit \(414 - 341\), avec l'offset de l'axe \(X\)) ; avec \(\Delta A = 72\) (\(414 - 342\), offset du même axe \(Y\) que celui de la question précédente) on obtient \(352\ \mathrm{mV}/\mathcal{g}\). L'écart de \(1\) unité de quantification est sans conséquence physique, mais il illustre pour les élèves que le résultat dépend du choix de la référence.

Différences pédagogiques induites par le changement de question.

• Nature de l'activité de l'élève. La question 3 d'origine (« définir un protocole pour déterminer l'angle d'inclinaison ») demande une tâche complexe applicative : l'élève conçoit un protocole pour utiliser le capteur, dont les propriétés sont admises. La nouvelle question demande de caractériser le capteur lui-même : on passe d'un usage à une démarche d'étalonnage.
• Objectif d'apprentissage. Dans un cas, on répond à une problématique concrète et contextualisée (mesurer un angle) ; dans l'autre, on construit une notion transversale, la sensibilité d'une chaîne de mesure, réinvestissable sur tout autre capteur.
• Compétences évaluées. La version « angle » mobilise la modélisation (projection de \(\vec{\mathcal{g}}\) sur l'axe sensible, \(a = \mathcal{g}\sin\theta\)) et l'analyse ; la version « sensibilité » mobilise davantage « réaliser » et « valider », puisqu'elle se termine par une confrontation à une valeur de référence, avec le regard critique que le jury attend.
• Guidage. Le professeur peut moduler : protocole entièrement à écrire par l'élève, ou bien étapes fournies dans le désordre à remettre en ordre, selon l'autonomie visée.

Intérêts.

• Accès à un grand nombre de mesures, donc à la statistique réelle. Les \(883\) valeurs de \(A_Y\) de la question précédente sont inconcevables à la main. Le microcontrôleur rend enfin expérimentalement vraie la partie « variabilité de la mesure, histogramme, moyenne et écart type » du programme de terminale, au lieu de la simuler sur des données fournies.
• Ouverture de la boîte noire et lien avec la modélisation. L'élève voit la chaîne complète grandeur physique → tension → nombre, et manipule explicitement l'étalonnage, l'offset et la quantification. Cela travaille la compétence « modéliser », et en particulier les limites du modèle (linéarité annoncée à \(0{,}3\ \%\), gamme \(\pm 3\,\mathcal{g}\)), ce qu'un capteur de laboratoire tout intégré ne permet pas. Cela relie aussi la physique à l'informatique et à la technologie du quotidien, ce qui a une valeur motivationnelle documentée.

Points de vigilance.

• Détournement de la charge cognitive. Le risque majeur : l'élève passe l'heure à débuguer un câblage ou une ligne de code, et la séance de physique devient une séance d'informatique. La parade est de fournir le programme déjà téléversé et fonctionnel, comme le fait l'activité de l'annexe 4, et de ne laisser à modifier que ce qui porte du sens physique.
• Effet « boîte noire inversée » et hétérogénéité. La valeur affichée peut être prise pour la vérité, sans esprit critique, alors qu'elle dépend d'un étalonnage discutable ; et la maîtrise technique préalable est très inégale selon les élèves, ce qui creuse les écarts. S'ajoutent des contraintes matérielles concrètes : temps d'installation, fiabilité des connexions, nombre de postes disponibles, et formation de l'enseignant.

La difficulté. L'expression « accélération statique » est une contradiction dans les termes pour un élève de terminale : il vient d'apprendre que l'accélération est la dérivée du vecteur vitesse, donc qu'un objet immobile, ou en mouvement rectiligne uniforme, a une accélération nulle. Or le document lui affirme qu'un capteur posé sur la table, parfaitement immobile, mesure une « accélération statique » de \(1\,\mathcal{g}\). Deux conceptions erronées s'installent alors : soit l'élève conclut qu'un objet au repos possède une accélération (et la définition cinématique s'effondre), soit il décide que le capteur « mesure la gravité » comme une grandeur d'une autre nature que l'accélération, et le lien entre les deux se perd. Le vocabulaire, ici, travaille contre le cours.

L'argument scientifique qui lève l'ambiguïté. Il tient en une phrase : un accéléromètre ne mesure pas l'accélération du référentiel, il mesure la résultante des forces autres que le poids, rapportée à la masse. On le démontre sur le modèle de la partie I.A, à condition de reprendre le bilan des forces de la question 3 sans y supposer l'axe sensible horizontal. Système : la dent mobile \(M\), de masse \(m\). Référentiel : \(\mathcal{R}_{\mathrm{b}}\), lié au bâti, non galiléen. Forces : le rappel élastique \(-2k\,x\,\vec{u}_x\), le poids \(m\vec{\mathcal{g}}\), la réaction du guidage \(\vec{R}\) — guidage supposé parfait, donc \(\vec{R}\perp\vec{u}_x\) — et la force d'inertie d'entraînement \(-m\vec{a}_e\) (Coriolis nulle, cf. Q2). À l'équilibre relatif, en projection sur le seul axe sensible \(\vec{u}_x\), où la réaction du guidage disparaît quelle que soit l'orientation du boîtier :

Cohérence avec la question 3. Dans la configuration de la partie I.A, l'axe sensible est horizontal : \(\vec{\mathcal{g}}\cdot\vec{u}_x = 0\), le poids est intégralement repris par le guidage (c'est le sens de « ils se compensent et sont orthogonaux à \(\vec{u}_x\) »), et il reste \(x = -\dfrac{m}{2k}\,a_e\), soit exactement le régime permanent de l'équation (1) avec \(\ddot{x} = \dot{x} = 0\). Le terme de pesanteur ne disparaît donc pas par nature : il disparaît parce que l'on avait choisi cette orientation. Dès que le boîtier bascule, la projection du poids sur l'axe sensible réapparaît — c'est la « composante statique », et c'est précisément elle qu'exploite le protocole de la Q32 (\(a = \mathcal{g}\sin\theta\)). Le composant réel de l'annexe 4 comporte trois axes sensibles orthogonaux de ce type : les trois mesures \(A_X, A_Y, A_Z\) sont les trois composantes d'un même vecteur.

Les deux points conceptuels à faire émerger. (1) La masse qui intervient dans le poids (masse gravitationnelle) et celle qui intervient dans la force d'inertie et le principe fondamental (masse inertielle) sont numériquement identiques : c'est le principe d'équivalence, vérifié expérimentalement à \(10^{-15}\) près, et c'est lui qui rend le capteur incapable par principe de distinguer un champ de pesanteur d'une accélération d'entraînement. (2) Le champ de pesanteur \(\vec{\mathcal{g}}\) et l'accélération de la pesanteur sont la même grandeur, en \(\mathrm{m\,s^{-2}}\) comme en \(\mathrm{N\,kg^{-1}}\), ce qui explique que l'on puisse légitimement exprimer une accélération « en \(\mathcal{g}\) » comme le fait toute la documentation technique.

Reformulation à proposer aux élèves, qui garde l'intention du document sans la contradiction : parler de composante permanente (due à la pesanteur, qui renseigne sur l'orientation du boîtier) et de composante variable (due au mouvement propre, qui renseigne sur les chocs et déplacements). On conserve ainsi la distinction utile entre les deux usages du capteur — bascule portrait/paysage d'une part, détection de choc d'autre part — sans jamais écrire qu'une accélération puisse être « statique ».

Partie II — Détecteur hyperspectral MOEMS

Le principe : chaque pixel du capteur est coiffé d'une micro-cavité Fabry-Pérot dont l'espacement, réglé par des cales piézoélectriques, sélectionne une bande spectrale étroite. On obtient ainsi pour chaque point de la scène une centaine de bandes spectrales au lieu des trois couleurs primaires, ce qui permet d'identifier chimiquement un matériau. L'application traitée est le tri optique des déchets plastiques.

II.A Imagerie hyperspectrale pour le tri des déchets plastiques

La figure 12 donne les réflectances normalisées du PET et du PVC entre \(950\) et \(1600\ \mathrm{nm}\). Le raisonnement se conduit en trois temps, et c'est la démarche qui est évaluée, pas la précision de la lecture graphique.

1. Où les deux courbes se distinguent-elles ? Il faut écarter les zones où elles se superposent ou présentent des minima confondus. Vers \(1430\ \mathrm{nm}\), les deux plastiques présentent une chute de réflectance très semblable (bande d'absorption commune) : cette zone n'est pas discriminante. En revanche, autour de \(1200\ \mathrm{nm}\), les deux matériaux présentent des minima de réflectance décalés l'un par rapport à l'autre, d'environ \(1180\ \mathrm{nm}\) pour le PET et \(1200\ \mathrm{nm}\) pour le PVC, et de profondeurs différentes.

2. Quelle résolution ? L'écart entre les deux signatures à discriminer vaut \(\Delta\lambda_{\text{signature}} \approx 20\ \mathrm{nm}\). Pour séparer deux structures distantes de \(20\ \mathrm{nm}\), il faut échantillonner le spectre avec un pas au moins deux fois plus fin, faute de quoi les deux minima tombent dans la même bande spectrale et deviennent indiscernables. C'est l'argument d'échantillonnage de Shannon transposé au domaine spectral.

3. Validation par le réel. La caméra utilisée pour produire la figure 11 (KUSTA 1.7 MSI) travaille entre \(0{,}95\) et \(1{,}7\ \mathrm{\mu m}\) avec une résolution de \(8\ \mathrm{nm}\) : notre cahier des charges est cohérent avec le matériel du commerce. Noter la contrainte que cela impose au Fabry-Pérot, et qui fait tout l'objet de la partie B : il devra présenter des pics de transmission de largeur à mi-hauteur inférieure ou égale à \(10\ \mathrm{nm}\) autour de \(1\ \mathrm{\mu m}\), c'est-à-dire une finesse élevée, donc des miroirs très réfléchissants. Le lien Q35 → Q48 est explicite : c'est le fil conducteur de la partie.

Cadrage préalable, à écrire en une phrase. Il s'agit d'une évaluation formative en classe de seconde : elle intervient pendant l'apprentissage, ne vise pas à classer mais à situer les acquis, et doit déboucher sur une remédiation. Cela conditionne la lecture des trois parties, qui sont de difficulté croissante et évaluent des compétences différentes.

• Partie A — Mesures préalables, lois de Snell-Descartes. Objectif : évaluer la capacité à modéliser une loi à partir de mesures. L'élève doit tracer \(\sin i_1\) en fonction de \(\sin i_2\), reconnaître une situation de proportionnalité, tracer la droite moyenne passant par l'origine, et exploiter son coefficient directeur pour en déduire \(n_2\) via \(n_1\sin i_1 = n_2 \sin i_2\). Sont travaillées : la compétence « réaliser » (tracé du graphe à l'échelle), la compétence « analyser » (choix de représenter les sinus et non les angles), la compétence « valider » (regard critique sur la dispersion des points, et sur le fait que la meilleure détermination de \(n\) passe par la pente de la droite moyenne, plus précise qu'un rapport calculé sur un seul couple de mesures).
• Partie B — Déplacement du pavé de verre. Objectif : évaluer le transfert de la loi à une situation nouvelle, dans un registre graphique. L'élève doit prévoir un comportement (« prolonger le trajet du rayon en sortie du verre »), ce qui suppose d'identifier les deux dioptres, d'appliquer deux fois la loi de la réfraction, et de reconnaître que le rayon émergent est parallèle au rayon incident mais décalé latéralement. Sont travaillées : l'articulation entre registre symbolique (la loi) et registre graphique (le tracé), et l'explicitation de la démarche (« expliquer brièvement votre démarche »), donc la compétence « communiquer ».
• Partie C — Réponse à la problématique. Objectif : évaluer la capacité à mobiliser l'ensemble pour expliquer un phénomène du quotidien, c'est-à-dire une tâche complexe et une remise en contexte. Sont travaillées la compétence « communiquer » à l'écrit (rédiger une explication argumentée en quelques lignes) et la capacité à réinvestir de façon autonome les résultats des parties précédentes.

L'architecture globale est classique et cohérente : établir la loi (A), l'appliquer dans un cas voisin (B), l'utiliser pour expliquer le réel (C). C'est précisément le maillon C qui va se révéler défaillant, et qui fait l'objet de la question 38.

Méthode de correction attendue par le jury, en trois temps et dans cet ordre.

1. Valoriser d'abord ce qui est réussi, même partiellement. C'est un attendu explicite : une copie annotée uniquement en négatif ne fait progresser personne. Le tracé du graphe, la reconnaissance de l'alignement des points, la formulation de la loi de Snell-Descartes sont typiquement à créditer.

2. Annoter les erreurs précisément, sur le document lui-même. Les points de contrôle sont les suivants :

• Partie A, tracé : la droite modèle doit passer par l'origine. Un élève qui trace une droite d'ordonnée à l'origine non nulle n'a pas identifié la situation de proportionnalité imposée par la loi \(\sin i_1 = \dfrac{n_2}{n_1}\sin i_2\).
• Partie A, coefficient directeur : le calcul doit s'appuyer sur deux points pris sur la droite tracée, choisis éloignés l'un de l'autre, et non sur deux points expérimentaux. Faire figurer sur le graphe le point utilisé et écrire le calcul en toutes lettres. C'est l'erreur la plus fréquente et la plus coûteuse, car elle ruine tout l'intérêt de la modélisation graphique.
• Partie A, résultat : avec les données du tableau, la pente vaut environ \(1{,}4\) à \(1{,}5\), d'où \(n_2 \approx 1{,}5\), valeur cohérente avec un verre courant. L'élève doit exploiter les grandeurs fournies (\(n_1 = 1{,}00\)) et conclure par une valeur numérique commentée.
• Partie C, confusions conceptuelles : trois fautes classiques à relever. (i) « Le stylo est réfracté » — non, c'est la lumière qui est réfractée, pas l'objet ; la confusion entre l'objet et la lumière qui en provient est un obstacle didactique majeur en optique. (ii) « Le pavé est soulevé » ou « la lumière vient du haut » — dans la photographie, l'éclairage vient de côté, la géométrie n'est pas celle de la partie A. (iii) L'explication rédigée décrit l'observation (« le stylo paraît coupé ») sans jamais expliquer le décalage, qui est pourtant la question posée.

3. Formuler des conseils actionnables, c'est-à-dire des consignes que l'élève peut appliquer seul la prochaine fois. Par exemple : « pour calculer un coefficient directeur, choisis deux points sur ta droite, le plus éloignés possible, et écris le calcul » ; « avant d'expliquer une observation d'optique, demande-toi toujours d'où vient la lumière et où elle arrive » ; « un schéma avec au moins deux rayons issus d'un même point de l'objet t'aidera à trouver où l'œil voit ce point ».

Pourquoi la partie C n'a pas été réussie. Le défaut n'est pas dans les élèves, il est dans l'enchaînement des questions. Trois ruptures se cumulent entre B et C.

• Rupture de géométrie. Dans les parties A et B, le pavé est couché sur la table et la lumière arrive du haut : le plan d'étude est vertical. Dans la photographie de la partie C, la scène est vue de biais et la lumière se propage horizontalement du stylo vers l'œil. Le trajet lumineux à considérer n'est pas dans la même direction que celui qui vient d'être étudié : l'élève ne peut pas transférer directement son schéma.
• Rupture de nature du raisonnement. Les parties A et B ne font intervenir qu'un seul rayon. Expliquer que le stylo paraît décalé exige de construire une image, donc de tracer au moins deux rayons issus d'un même point du stylo, de les prolonger en arrière après réfraction, et de localiser leur intersection apparente. Cette notion d'image par un dioptre plan n'a jamais été construite dans l'activité, ni d'ailleurs au programme de seconde à ce niveau de formalisme.
• Rupture de consigne. « Expliquer en quelques lignes », avec un schéma seulement facultatif (« on pourra s'aider d'un schéma si besoin »), oriente l'élève vers une réponse purement verbale, alors que la clé de l'explication est le schéma. La consigne travaille contre la réussite.

La réponse attendue une fois la difficulté levée : les rayons issus d'un point du stylo sont réfractés à l'entrée puis à la sortie du pavé et en ressortent parallèles à leur direction initiale mais translatés latéralement ; l'œil, qui les prolonge en ligne droite, voit donc le point du stylo décalé. Comme seule la portion du stylo vue à travers le verre subit ce décalage, le stylo paraît « coupé » à la frontière du pavé.

II.B Interféromètre de Fabry-Pérot

Deux lames planes parallèles, partiellement réfléchissantes, séparées par une épaisseur d'air \(e\). Le rayon incident, d'angle \(i\), subit une infinité d'allers-retours ; tous les rayons émergents sont parallèles, et une lentille les fait interférer en son plan focal, au point \(M\). On note \(r\) et \(t\) les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude, \(R = r^2\) et \(T = t^2\) ceux en intensité, avec \(R + T = 1\) (lames non absorbantes).

Préliminaire à écrire : les deux lames étant parallèles, la loi de Snell-Descartes pour la réflexion impose que tous les angles d'incidence et de réflexion successifs à l'intérieur de la cavité soient égaux à \(i\). La géométrie se répète donc à l'identique à chaque aller-retour, ce qui est la raison pour laquelle le déphasage entre deux rayons consécutifs sera constant.

Le trajet \(B \to C \to D\) est constitué de deux segments obliques symétriques traversant l'épaisseur \(e\), chacun de longueur \(\dfrac{e}{\cos i}\). La cavité étant remplie d'air (\(n=1\)), chemin optique et longueur géométrique coïncident :

La projection de ce trajet sur la direction parallèle aux lames donne \(BD\) : chaque segment se projette en \(e\tan i\), d'où

Enfin \(H\) est le projeté orthogonal de \(D\) sur le rayon 1. Le triangle \(BHD\) est rectangle en \(H\), et l'angle en \(B\) entre \(BD\) (parallèle aux lames) et le rayon 1 (qui fait l'angle \(i\) avec la normale, donc \(\tfrac{\pi}{2}-i\) avec les lames) vaut \(\tfrac{\pi}{2}-i\). Donc \([BH] = BD\,\cos\left(\tfrac{\pi}{2}-i\right) = BD\sin i\) :

Justification de \([HM] = [DM]\). Les rayons 1 et 2 sont parallèles en sortie. \(H\) étant le projeté orthogonal de \(D\) sur le rayon 1, le plan passant par \(H\) et \(D\) perpendiculairement à ces rayons est un plan d'onde. Or le théorème de Malus énonce que les rayons lumineux issus d'une même source sont orthogonaux aux surfaces d'onde, et que le chemin optique entre deux surfaces d'onde est le même pour tous les rayons. Les chemins \([HM]\) et \([DM]\), comptés de ce plan d'onde jusqu'au point de convergence \(M\), sont donc égaux. C'est exactement le rôle de la lentille : elle ne modifie pas la différence de marche entre rayons parallèles.

Différence de marche. Le rayon 2 parcourt \([BCD]\) puis \([DM]\) ; le rayon 1 parcourt \([BH]\) puis \([HM]\). Les deux derniers étant égaux, ils se simplifient :

Résultat à connaître par cœur : c'est la différence de marche d'une lame à faces parallèles éclairée en lumière parallèle, que l'on retrouve pour le Michelson en lame d'air et les anneaux d'égale inclinaison. Le \(\cos i\) (et non \(\sin i\)) est la signature de cette configuration. On notera l'absence de terme \(\lambda/2\) : ici les deux réflexions internes subies par le rayon 2 ont lieu dans les mêmes conditions, et l'énoncé pose \(r\) réel et identique partout, ce qui revient à absorber tout déphasage de réflexion dans une constante commune, sans effet sur la figure d'interférence.

Le rayon 1 a traversé deux lames, donc son amplitude a été multipliée par \(t\) deux fois, soit \(t^2\). Il a accumulé la phase \(\varphi_0 = \dfrac{2\pi}{\lambda}[AB]\) entre \(A\) et \(B\), puis \(\dfrac{2\pi}{\lambda}[BHM]\) entre \(B\) et \(M\) :

Le rayon 2 diffère du rayon 1 par exactement deux événements : deux réflexions internes supplémentaires (en \(C\) sur la seconde lame, puis en \(D\) sur la première), soit un facteur \(r^2 = R\) en amplitude ; et un trajet supplémentaire qui lui vaut le déphasage \(\Delta\varphi\) calculé à Q40. Il a traversé, lui aussi, exactement deux lames en transmission.

Le point décisif pour la suite : le passage du rayon \(n\) au rayon \(n+1\) se fait toujours par le même facteur multiplicatif \(\underline{q} = R\,\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\Delta\varphi}\), puisque la géométrie se reproduit identiquement à chaque aller-retour. La suite des amplitudes est géométrique, ce qui n'était pas le cas pour deux ondes seulement.

Les ondes sont issues de la même source, donc mutuellement cohérentes : on somme les amplitudes, et non les intensités. Le rayon d'indice \(n\) (\(n \ge 0\)) a subi \(n\) allers-retours :

Le module de la raison vaut \(\left|R\,\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\Delta\varphi}\right| = R < 1\) puisque \(0 < r < 1\) : la série géométrique converge, et la formule rappelée par l'énoncé s'applique.

Justifier la convergence par \(R < 1\) n'est pas un ornement : c'est la traduction mathématique du fait qu'une partie de l'énergie s'échappe à chaque aller-retour, donc que la somme infinie a un sens physique.

C'est la fonction d'Airy, sous la forme donnée par l'énoncé, puisque \(\dfrac{\Delta\varphi}{2} = \dfrac{2\pi e\cos i}{\lambda}\). Le coefficient \(\mathcal{F} = \dfrac{4R}{(1-R)^2}\), appelé coefficient de finesse, gouverne tout le comportement du filtre : plus \(R\) est proche de \(1\), plus \(\mathcal{F}\) est grand, plus les pics de transmission sont étroits. Contrôle de cohérence à faire : pour \(R \to 0\), \(\mathcal{F}\to 0\) et \(\Gamma \to 1\), ce qui est bien le cas d'une cavité sans miroir, qui transmet tout.

\(\Gamma\) est maximale lorsque le terme en \(\sin^2\) s'annule, c'est-à-dire quand son argument est un multiple entier de \(\pi\) :

La transmission est totale aux maxima, quelle que soit la valeur de \(R\) : c'est la propriété remarquable du Fabry-Pérot sans absorption, et elle en fait un excellent filtre — il ne perd pas d'énergie sur la bande qu'il sélectionne. Physiquement, \(\lambda_{\max,p} = 2e\cos i/p\) traduit simplement la condition d'interférences constructives \(\delta = p\lambda\).

Cohérence avec l'annexe 6 (A). Avec \(e\cos i = 1{,}0\ \mathrm{\mu m}\), on a \(\lambda_{\max,p} = \dfrac{2{,}0}{p}\ \mathrm{\mu m}\) :

Sur l'intervalle \(450 < \lambda < 1900\ \mathrm{nm}\) de l'annexe 6 (A), on prévoit donc exactement trois pics, à \(500\), \(667\) et \(1000\ \mathrm{nm}\) ; celui d'ordre \(1\) tombe hors de la fenêtre. C'est bien ce que montre la figure, ce qui valide le modèle.

Deux formulations équivalentes, la seconde étant la plus convaincante.

Par le décompte des ordres. Les maxima présents dans la fenêtre \([\lambda_a, \lambda_b]\) sont ceux dont l'ordre \(p\) vérifie \(\lambda_a \le \dfrac{2e\cos i}{p}\le \lambda_b\), soit \(\dfrac{2e\cos i}{\lambda_b} \le p \le \dfrac{2e\cos i}{\lambda_a}\). Le nombre d'entiers dans cet intervalle vaut environ

qui est proportionnel à \(e\). Doubler l'épaisseur double le nombre de pics visibles.

Par l'intervalle spectral libre. L'écart entre deux maxima consécutifs vaut

C'est l'intervalle spectral libre. Il est inversement proportionnel à \(e\) : plus la cavité est épaisse, plus les pics sont resserrés, donc plus il en tient dans une fenêtre donnée. Physiquement, une cavité épaisse impose une différence de marche grande, donc un ordre d'interférence élevé, et les conditions constructives se succèdent d'autant plus vite quand \(\lambda\) varie.

On cherche à placer un ordre dans la fenêtre \([1{,}00 ; 1{,}30]\ \mathrm{\mu m}\) et un seul, ce qui impose de vérifier où tombent les ordres voisins.

La seconde famille est celle de l'annexe 6 (\(e\cos i = 1{,}0\ \mathrm{\mu m}\)) et sera préférée en pratique, car à ordre élevé les pics sont plus fins à \(R\) donné, donc la résolution spectrale est meilleure. La contrepartie est qu'il faut alors éliminer les ordres parasites.

Élément optique à ajouter. Un filtre passe-haut en longueur d'onde (filtre « passe-bas en fréquence », dit long-pass ou filtre coloré infrarouge), de longueur d'onde de coupure voisine de \(1{,}0\ \mathrm{\mu m}\), placé devant le capteur. Il absorbe le visible et le très proche infrarouge, donc les maxima d'ordre supérieur qui tomberaient dans le visible, et ne laisse passer que la bande utile. C'est une nécessité et non un raffinement : sans lui, le capteur recevrait simultanément les ordres \(2\) et \(3\), et l'information spectrale serait irrémédiablement mélangée.

Applications numériques au voisinage de \(\lambda = 1{,}0\ \mathrm{\mu m}\), avec \(e\cos i = 1{,}0\ \mathrm{\mu m}\) (donc \(\lambda^2/(2\pi e\cos i) = 1{,}0\times 10^{3}/(2\pi)\ \mathrm{nm}\)) :

Inconvénients d'un \(R\) trop proche de \(1\). Trois, qu'il faut savoir énoncer.

• Effondrement du flux détecté. La transmission au sommet reste égale à \(1\), mais le pic devient si étroit que l'intégrale de la transmission sur le spectre incident, donc l'énergie réellement reçue par le pixel, devient minuscule. Le rapport signal sur bruit s'écroule, et il faut augmenter le temps de pose, ce qui est rédhibitoire pour un tri sur convoyeur en temps réel.
• Sensibilité extrême au réglage mécanique. Un pic de \(1{,}6\ \mathrm{nm}\) autour de \(1\ \mathrm{\mu m}\) impose de contrôler \(e\cos i\) à mieux que \(\Delta\lambda/\lambda \approx 1{,}6\times 10^{-3}\) en valeur relative, soit à mieux que \(2\ \mathrm{nm}\) sur une cavité de \(1\ \mathrm{\mu m}\). Les tolérances de fabrication et la stabilité thermique du MOEMS deviennent critiques.
• Perte de l'hypothèse \(R+T=1\). Un miroir réel absorbe et diffuse un peu ; quand \(1-R\) devient du même ordre que ces pertes, la transmission au sommet chute nettement en dessous de \(1\) et le raisonnement idéal ne tient plus.

II.C Traitement d'image en langage Python

Un convertisseur sur \(N\) bits code \(2^{N}\) niveaux distincts, numérotés de \(0\) à \(2^{N}-1\). La valeur maximale \(255 = 2^{8}-1\) identifie sans ambiguïté :

Le pas de quantification vaut donc \(1/256\) de la pleine échelle, soit environ \(0{,}4\ \%\) : c'est la résolution ultime de la mesure d'intensité, et elle borne la finesse des contrastes exploitables par le tri.

L'image comporte \(l \times c\) pixels, chacun codé sur \(8\) bits, soit \(1\) octet, pour une image en nuances de gris (une seule couche) :

Deux remarques de bon sens à ajouter : (1) il s'agit de l'image brute non compressée, un fichier PNG réel étant plus petit grâce à la compression sans perte ; (2) une image couleur RGB occuperait trois fois plus, et une image hyperspectrale à une centaine de bandes occuperait cent fois plus, soit environ \(16\ \mathrm{Mo}\) par image — ce qui explique que le traitement embarqué de tri se fasse sur un petit nombre de bandes sélectionnées et non sur le cube complet.

Deux boucles imbriquées parce qu'un pixel est repéré par deux indices indépendants : la boucle externe sur \(i\) fait défiler les lignes, la boucle interne sur \(j\) fait défiler, pour chaque valeur de \(i\), toutes les colonnes. Le couple d'instructions \(\texttt{if/else}\) est ainsi exécuté \(l\times c\) fois, une fois pour chaque pixel. Le parcours se fait ligne par ligne, du pixel \(\texttt{img[0,0]}\) au pixel \(\texttt{img[l-1,c-1]}\).

\(\texttt{range(0,l)}\) engendre la suite des entiers de \(0\) inclus à \(l\) exclu, soit \(0, 1, \ldots, l-1\) : exactement \(l\) valeurs. La borne supérieure exclue est la convention de Python, et elle est ici nécessaire puisque les indices d'un tableau de \(l\) lignes vont de \(0\) à \(l-1\) ; écrire \(\texttt{range(1,l)}\) oublierait la première ligne, et \(\texttt{range(0,l+1)}\) provoquerait une erreur d'indice.

L'indentation n'est pas cosmétique. En Python, c'est elle, et elle seule, qui délimite les blocs d'instructions : il n'y a ni accolades ni mot-clé de fin. Le fait que la ligne (9) soit décalée à droite par rapport à la ligne (8) signifie que la boucle sur \(j\) est contenue dans la boucle sur \(i\), donc relancée intégralement à chaque nouvelle ligne. Si l'on supprimait ce décalage, les deux boucles deviendraient successives au lieu d'être imbriquées, et le programme ne traiterait plus que \(l+c\) pixels au lieu de \(l\times c\) : un décalage de quatre espaces change le résultat du programme.

Il s'agit d'un seuillage (binarisation) : on classe chaque pixel dans l'une de deux catégories selon son intensité. La lecture des valeurs portées sur la figure 14 fait apparaître trois populations : les pixels des bouteilles, sombres (de l'ordre de \(44\) à \(115\)) ; ceux du fond, d'intensité intermédiaire (de l'ordre de \(187\)) ; ceux des étiquettes, très clairs (de l'ordre de \(220\) à \(226\)). Le fond n'est donc ni le plus sombre ni le plus clair, ce qui interdit un seuil simple à une seule inégalité.

Pourquoi un encadrement et non un simple \(\texttt{if img[i,j] > 180}\) : ce dernier noircirait aussi les étiquettes, qui font partie des bouteilles à isoler, et découperait des trous dans les silhouettes. Le double encadrement conserve l'objet entier. Remarque de robustesse, qui vaut la peine d'être écrite : ce choix de seuils est empirique et dépendant de l'éclairage ; un algorithme industriel déterminerait les bornes automatiquement à partir de l'histogramme de l'image (méthode d'Otsu), ce qui le rendrait insensible aux variations de luminosité du convoyeur.

Avec \(0\) d'un côté et \(255\) de l'autre, l'image ne contient plus que les deux valeurs extrêmes de la dynamique du codage : il n'existe plus aucune nuance de gris, et le contraste est maximal, égal à \(1\) au sens de la définition \(C = \dfrac{I_{\max}-I_{\min}}{I_{\max}+I_{\min}}\). C'est ce qu'exige la suite du traitement : une silhouette binaire est directement exploitable pour compter les objets, mesurer leur surface ou localiser leur centre.

Remarque pratique, hors barème mais que le jury apprécie : \(\texttt{mpimg.imread}\) renvoie, pour un PNG, un tableau de flottants compris entre \(0{,}0\) et \(1{,}0\), et non des entiers de \(0\) à \(255\). Avec ce fichier précis, les seuils devraient donc être \(180/255 \approx 0{,}71\) et \(200/255 \approx 0{,}78\), et la ligne (13) devrait affecter \(1{,}0\). De même, \(\texttt{np.shape}\) renvoie trois valeurs pour une image couleur, ce qui ferait échouer le \(\texttt{l,c = np.shape(img)}\) de la ligne (7). L'énoncé se place implicitement dans le cas d'une image en niveaux de gris codée en entiers.

Le résultat est une image strictement binaire : un fond uniformément noir, sur lequel se détachent les silhouettes blanches pleines des bouteilles, étiquettes comprises. Aucun dégradé, aucun relief, aucune texture ne subsiste : toute l'information photométrique a été réduite à une information de forme. Les bouteilles apparaissent alignées comme sur la figure 11, chacune vue en projection avec son goulot.

Deux limites à signaler, car elles font la différence entre une réponse correcte et une réponse d'agrégatif : (1) si deux bouteilles se touchent, elles forment une seule tache blanche connexe, et le comptage automatique les confondra — d'où le recours ultérieur à des opérations de morphologie mathématique (érosion, dilatation) ; (2) le traitement détruit l'information spectrale qui permet justement de distinguer PET et PVC. La binarisation sert donc uniquement à localiser les objets ; l'identification chimique se fait ensuite, bande par bande, sur les pixels ainsi sélectionnés.

Partie III — Viscosimètre MEMS

Le contexte est médical : mesurer la viscosité du sang, indispensable au dosage des anticoagulants, à partir d'une goutte de quelques microlitres. Le principe est d'une simplicité désarmante — on impose un débit dans un microcanal et on mesure la chute de pression le long du canal — mais il repose entièrement sur la loi de Poiseuille, qu'il faut établir proprement depuis Navier-Stokes.

III.A Équation de Navier-Stokes

Application numérique pour \(v = 1{,}0\ \mathrm{mm\,s^{-1}}\), \(a = 100\ \mathrm{\mu m}\), et pour un liquide aqueux (\(\rho \approx 1{,}0\times 10^{3}\ \mathrm{kg\,m^{-3}}\), \(\eta \approx 1{,}0\times 10^{-3}\ \mathrm{Pa\,s}\)) :

Interprétation. \(Re \approx 0{,}1 \ll 1\) : les effets diffusifs (transport de quantité de mouvement par la viscosité, d'une couche de fluide à la voisine) l'emportent très largement sur les effets convectifs (transport de quantité de mouvement par le mouvement d'ensemble). On est dans le régime dit de Stokes, ou rampant. Deux conséquences :

• l'écoulement est laminaire, parfaitement stable, et très loin de la transition turbulente (qui survient vers \(Re \approx 2\times 10^{3}\) en conduite) ;
• le terme non linéaire de Navier-Stokes est négligeable, ce qui rend l'équation linéaire, donc soluble analytiquement : c'est ce qui va permettre d'obtenir la loi de Poiseuille exacte, et donc de remonter à \(\eta\) sans étalonnage empirique.

C'est la signature de la microfluidique : en divisant la dimension transverse par \(10^{3}\) par rapport à une conduite ordinaire, on divise \(Re\) d'autant, et l'on entre dans un monde où la viscosité domine tout, où les écoulements sont réversibles et où le mélange ne peut se faire que par diffusion moléculaire.

On reprend l'équation (4) et l'on élimine les termes un par un, en justifiant chaque suppression :

• \(\rho\dfrac{\partial\vec{v}}{\partial t} = \vec{0}\) : le régime est stationnaire, toutes les grandeurs eulériennes sont indépendantes du temps ;
• \(\rho\left(\vec{v}\cdot\overrightarrow{\mathrm{grad}}\right)\vec{v}\) : négligeable devant \(\eta\Delta\vec{v}\) d'après Q55, puisque leur rapport vaut \(Re \approx 0{,}1 \ll 1\) ;
• \(\vec{f}_v = \vec{0}\) : l'énoncé précise que les forces volumiques (pesanteur) sont négligeables, ce qui se justifie par les très faibles dimensions du dispositif — la variation de pression hydrostatique sur \(100\ \mathrm{\mu m}\) vaut \(\rho g a \approx 1\ \mathrm{Pa}\), à comparer aux \(10^{5}\ \mathrm{Pa}\) de chute de pression motrice.

L'équation traduit un équilibre local exact entre les forces de pression et les forces de viscosité : le fluide n'accélère pas, le gradient de pression ne sert qu'à vaincre le frottement visqueux. C'est l'équation de Stokes.

III.B Écoulement de Poiseuille

Trois arguments successifs, à écrire dans cet ordre.

1. Direction. Les parois du canal sont imperméables et le régime est stationnaire : aucun débit net ne traverse une surface cylindrique coaxiale, donc \(v_r = 0\). Par ailleurs, rien dans le problème (ni la géométrie, ni les conditions aux limites, ni le forçage en pression) ne privilégie un sens de rotation autour de \(Ox\) : le problème est invariant par la symétrie plane contenant \(Ox\), et la composante orthoradiale, qui changerait de signe dans cette symétrie, est donc nulle, \(v_\theta = 0\). Il reste \(\vec{v} = v_x\,\vec{u}_x\).

2. Invariances. Le canal est infiniment long au sens où \(a \ll L_x\), et il est de révolution autour de \(Ox\). Loin des extrémités, le problème est donc invariant par translation selon \(x\) et par rotation d'angle \(\theta\), ce qui élimine la dépendance en \(\theta\) : \(v_x = v_x(x,r)\).

3. Incompressibilité. L'écoulement étant incompressible, \(\mathrm{div}\,\vec{v} = 0\). Avec \(\vec{v} = v_x(x,r)\vec{u}_x\), la divergence en coordonnées cylindriques se réduit à son seul terme longitudinal :

Ce résultat a une conséquence capitale que l'on peut signaler dès maintenant : pour un tel champ, le terme convectif est rigoureusement nul, car \(\left(\vec{v}\cdot\overrightarrow{\mathrm{grad}}\right)\vec{v} = v_x\dfrac{\partial}{\partial x}\left(v_x\vec{u}_x\right) = \vec{0}\). L'écoulement de Poiseuille est donc une solution exacte de Navier-Stokes, et non une solution approchée valable seulement à petit \(Re\).

La chute de pression étant supposée uniforme le long du canal, \(P\) décroît linéairement de \(P(0)\) à \(P(L_x)\), avec \(\Delta P = P(0)-P(L_x) > 0\) :

Le gradient est dirigé vers les \(x\) décroissants : le fluide s'écoule des hautes vers les basses pressions, comme il se doit. Le signe se contrôle sur le résultat final, qui doit donner \(v_x > 0\) pour \(\Delta P > 0\).

C'est la condition de non-glissement à la paroi : pour un fluide visqueux, la couche de fluide en contact avec une paroi solide est immobile par rapport à celle-ci (ici la paroi est fixe). Ce n'est pas une conséquence des équations, c'est une condition aux limites supplémentaire, d'origine expérimentale, qui découle de l'adhérence moléculaire. Elle disparaîtrait pour un fluide parfait, pour lequel on n'imposerait que \(v_r = 0\), et l'on trouverait alors un profil plat.

Le profil est parabolique, maximal sur l'axe, nul aux parois : c'est le profil de Poiseuille. Contrôles à faire : \(v_x > 0\) pour \(\Delta P > 0\) (le fluide va bien dans le bon sens) ; \(v_x\) croît quand \(\eta\) décroît (un fluide moins visqueux coule plus vite à forçage donné) ; et l'homogénéité, \(\left[\dfrac{\mathrm{Pa}\cdot\mathrm{m}^{2}}{\mathrm{Pa\,s\cdot m}}\right] = \mathrm{m\,s^{-1}}\).

On intègre le champ de vitesse sur la section, en découpant celle-ci en couronnes d'aire \(2\pi r\,\mathrm{d}r\) sur lesquelles \(v_x\) est uniforme :

La dépendance en \(a^{4}\) est le résultat marquant, et il faut le commenter : diviser par deux le diamètre d'une conduite divise le débit par seize à pression imposée. C'est ce qui explique l'effet spectaculaire d'un rétrécissement artériel en physiologie, et c'est aussi ce qui rend le microcanal si sensible : à \(a = 100\ \mathrm{\mu m}\), une très petite goutte suffit à produire une chute de pression mesurable. On peut aussi noter \(Q_v = \overline{v}\cdot\dfrac{\pi a^{2}}{4}\) avec \(\overline{v} = \dfrac{\Delta P a^{2}}{32\eta L_x} = \dfrac{v_{\max}}{2}\) : la vitesse débitante vaut exactement la moitié de la vitesse sur l'axe.

Lecture du document. La figure 16 donne la pression relevée par les jauges en fonction de leur position le long du canal. Les points s'alignent sur une droite décroissante, ce qui valide expérimentalement l'hypothèse de gradient de pression uniforme de Q58 — c'est la première chose à dire. La pente de cette droite fournit directement \(\Delta P/L_x\) : la pression chute d'environ \(1{,}7\times 10^{5}\ \mathrm{Pa}\) entre les positions \(4\) et \(11\ \mathrm{mm}\), soit

Inversion de la loi de Poiseuille. C'est tout l'intérêt d'exprimer la mesure sous forme d'un gradient : \(L_x\) n'a pas à être connu séparément.

Commentaire, en comparant à des étalons. Cette valeur vaut environ quatre fois celle de l'eau à température ambiante (\(1{,}0\ \mathrm{mPa\,s}\)), et elle est proche de la viscosité du sang total à \(37\ ^\circ\mathrm{C}\), que la littérature situe entre \(3\) et \(4\ \mathrm{mPa\,s}\) (valeur calculée légèrement au-dessus, ce qui reste l'ordre de grandeur attendu). Le dispositif remplit donc bien sa fonction.

Deux réserves à formuler, et c'est ce qui distingue une réponse d'agrégatif d'une simple application numérique.

• Le sang n'est pas un fluide newtonien. C'est une suspension concentrée de globules rouges déformables : sa viscosité dépend du taux de cisaillement (comportement rhéofluidifiant). La valeur mesurée n'a donc de sens qu'assortie du débit auquel elle a été obtenue, ce qui est précisément la raison d'être d'un viscosimètre à débit contrôlé.
• L'hypothèse de milieu continu est à la limite. Un globule rouge mesure environ \(8\ \mathrm{\mu m}\), soit le douzième du diamètre du canal : la séparation d'échelles est faible, et des effets connus (migration axiale des globules, couche de plasma pariétale, effet Fåhræus-Lindqvist) font que la viscosité apparente en microcanal diffère de la viscosité macroscopique.

Vérification de cohérence a posteriori, qui n'est pas demandée mais qui est très valorisée. La vitesse débitante réelle vaut

très supérieure au \(1\ \mathrm{mm\,s^{-1}}\) de l'estimation de Q55. Le nombre de Reynolds vaut alors

soit \(43\), et non \(0{,}1\). L'écoulement reste très largement laminaire (\(Re \ll 2\times 10^{3}\)) et, comme on l'a montré à Q57, le terme convectif est de toute façon identiquement nul pour un écoulement parallèle établi : la loi de Poiseuille reste exacte. Il faut seulement vérifier que l'écoulement est bien établi, c'est-à-dire que la longueur d'entrée \(L_e \approx 0{,}06\,Re\,a\) est petite devant la distance entre jauges :

soit bien moins que les \(7\ \mathrm{mm}\) de canal instrumenté : les jauges mesurent bien la zone d'écoulement établi.

III.C Transport des flux de matière en STL-SPCL

Trois QP adossées à une activité de terminale STL-SPCL sur le dimensionnement d'un réseau d'irrigation. Le programme de cette voie (annexe 7) comporte explicitement le théorème de Bernoulli avec pertes de charge et avec pompe, ainsi que la puissance utile et le rendement d'une pompe : c'est un contenu que l'on ne rencontre pas dans la voie générale, et que le jury attend ici.

Écoulement incompressible. Un écoulement est incompressible lorsque le volume d'une particule de fluide ne varie pas au cours de son mouvement, ce qui se traduit par \(\mathrm{div}\,\vec{v} = 0\), ou de façon équivalente par \(\dfrac{\mathrm{D}\rho}{\mathrm{D}t} = 0\). C'est une propriété de l'écoulement, pas du fluide : le critère pratique est que la vitesse d'écoulement soit très petite devant la célérité du son dans le milieu (nombre de Mach \(Ma = v/c \ll 0{,}3\)). Ici \(v \approx 2\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) contre \(c \approx 1{,}5\times 10^{3}\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) dans l'eau, soit \(Ma \approx 10^{-3}\) : l'hypothèse est excellente.

Écoulement parfait. Un écoulement est parfait lorsque les effets de la viscosité y sont négligeables, c'est-à-dire qu'il n'y a ni diffusion de quantité de mouvement, ni dissipation, donc aucune perte de charge. C'est l'hypothèse qui autorise l'écriture du théorème de Bernoulli sous sa forme simple. Attention : aucun fluide réel n'est parfait ; l'écoulement peut l'être en pratique loin des parois, sur des longueurs modestes.

Pertinence pour le réseau d'irrigation. La question se tranche par le calcul, avec la relation de Poiseuille fournie en annexe. Le débit vaut \(Q_v = 42\ \mathrm{L\,min^{-1}} = \dfrac{42\times 10^{-3}}{60} = 7{,}0\times 10^{-4}\ \mathrm{m^{3}\,s^{-1}}\), et \(a/2 = 1{,}0\times 10^{-2}\ \mathrm{m}\) :

Prolongement hors attendu — à ne pas traiter le jour du concours. Ce qui suit dépasse ce que demande l'énoncé, qui fournit la relation de Poiseuille et attend son application : ne le rédigez pas en temps limité, il ne rapporte pas de point et coûte cinq minutes. Il est donné ici parce qu'il éclaire la limite du modèle, et parce qu'un jury d'oral peut poser la question. La relation de Poiseuille n'est en effet valable qu'en régime laminaire. Or, dans ce tuyau, la vitesse débitante vaut \(\overline{v} = Q_v/(\pi(a/2)^2) = 2{,}2\ \mathrm{m\,s^{-1}}\), et

très supérieur au seuil de transition \(Re \approx 2\times 10^{3}\) : l'écoulement est en réalité turbulent, et les pertes de charge y sont bien plus élevées que ne le prédit Poiseuille. Une estimation par la corrélation de Blasius (coefficient de perte de charge \(\lambda = 0{,}316\,Re^{-1/4} \approx 0{,}022\)) donne

soit \(0{,}53\ \mathrm{bar}\), c'est-à-dire \(21\ \%\) de la pression amont. Il faut alors assumer la conclusion que donnent ces chiffres, et elle est inverse de la précédente : le critère de \(20\ \%\) est franchi, et l'hypothèse d'écoulement parfait — celle qui annule justement la dissipation — est précisément celle qui tombe dès que l'écoulement est turbulent. Une estimation de Blasius vaut ce que vaut une corrélation empirique (elle ignore la rugosité et les pertes de charge singulières des coudes et des vannes, qui ne feraient qu'aggraver le bilan), mais l'ordre de grandeur est net : sur \(20\ \mathrm{m}\) de tuyau à \(2\ \mathrm{m\,s^{-1}}\), les pertes de charge réelles ne sont pas négligeables.

Rôle du dispositif pompe + trop-plein. L'expérience consiste à mesurer le débit \(Q_v\) pour différentes hauteurs d'eau \(H\), à l'éprouvette et au chronomètre. Or, si l'on se contentait de remplir la cuve et de laisser couler, le niveau \(H\) baisserait pendant la mesure, donc le débit diminuerait continûment : on mesurerait une valeur moyenne mal définie, et l'écoulement ne serait pas stationnaire.

Ce dernier point est l'élégance de la question : le montage n'est pas un détail technique, il est la réalisation matérielle d'une hypothèse du modèle. C'est un excellent exemple à faire verbaliser aux élèves.

On reconnaît la formule de Torricelli : la vitesse de sortie est celle qu'aurait un corps tombant en chute libre de la hauteur \(H\), ce qui n'a rien d'un hasard puisque Bernoulli est un bilan d'énergie mécanique par unité de volume. Méthode de vérification expérimentale à proposer aux élèves : tracer \(Q_v\) en fonction de \(\sqrt{H}\) et vérifier l'alignement des points sur une droite passant par l'origine ; la pente attendue vaut \(S\sqrt{2g}\), ce qui permet en prime de retrouver la section \(S\) de l'orifice et de la comparer à sa mesure directe. On peut aussi tracer \(\ln Q_v\) en fonction de \(\ln H\) et vérifier que la pente vaut \(0{,}5\).

Justification du choix. Le programme de terminale STL-SPCL (annexe 7) exige trois capacités qui ne sont pas encore mobilisées par l'activité : « expliquer le rôle d'une pompe », « exploiter le théorème de Bernoulli avec une pompe », « définir et évaluer le rendement d'une pompe, la puissance électrique absorbée étant fournie ». La question proposée les couvre toutes les trois, en réutilisant le matériel déjà installé.

Réponse attendue.

a. La pompe fournit au fluide de l'énergie mécanique, prélevée sur le réseau électrique. Elle constitue une singularité active du circuit : le théorème de Bernoulli sous sa forme simple ne s'applique pas à travers elle, il faut sa forme généralisée, qui ajoute au bilan le travail utile fourni par unité de volume.

b. Entre les points \((1)\) et \((2)\) situés de part et d'autre de la pompe, le théorème de Bernoulli généralisé s'écrit :

Les deux manomètres étant à la même altitude (\(z_1 = z_2\)) et sur des tuyaux de même section (\(v_1 = v_2\) par conservation du débit), seuls les termes de pression subsistent. Avec \(Q_v = 7{,}0\times 10^{-4}\ \mathrm{m^{3}\,s^{-1}}\) :

c. Le rendement est le rapport de la puissance utile à la puissance absorbée :

Commentaire à faire produire par les élèves : près de \(60\ \%\) de l'énergie électrique consommée n'arrive pas au fluide. Elle est dissipée dans les pertes par effet Joule du moteur, dans les frottements mécaniques des paliers, et dans les turbulences internes de la roue. Un rendement de \(40\) à \(60\ \%\) est l'ordre de grandeur normal d'une pompe domestique, ce que les élèves peuvent vérifier sur une documentation constructeur.

Variante possible, si l'on préfère faire intervenir une dénivellation : placer la pompe entre un bassin de récupération et la cuve située \(h = 0{,}50\ \mathrm{m}\) plus haut, et demander la puissance minimale nécessaire pour maintenir le niveau constant. Le terme \(\rho g h\) s'ajoute alors au bilan, et l'on obtient une puissance de quelques watts seulement, ce qui montre aux élèves que l'essentiel de la puissance d'une pompe sert à vaincre les pertes de charge, non à élever l'eau.

Bilan : ce qui fait la différence sur cette épreuve

Trois écarts avec les éléments de correction officiels

Barème indicatif

Pour travailler les notions de ce sujet

Les thèmes abordés recoupent directement plusieurs leçons du catalogue, à travailler en priorité si l'une des parties ci-dessus a résisté :

• Oscillateurs (sujet 8, physique) — oscillateur harmonique libre et amorti, facteur de qualité, amortissement : questions Q1 à Q4, et la modélisation de la masse sismique.
• Résonance (sujet 14, physique) — régime sinusoïdal forcé, fonction de transfert, condition d'existence d'une résonance en élongation, acuité : questions Q5 à Q7, cœur de la partie I.A.
• Capteurs (sujet 9, physique) — chaîne de mesure, capteur capacitif, sensibilité, offset, étalonnage, gamme et bande passante : les parties I.B, I.C et I.D dans leur intégralité, et notamment Q14, Q27, Q31 et Q32.
• Dynamique d'un système électrique (sujet 12, physique) — circuit du premier ordre, constante de temps, régime transitoire et régime forcé, filtrage : questions Q19 à Q25.
• Signal analogique et numérique (sujet 15, physique) — conversion analogique-numérique, quantum, nombre de bits, acquisition par microcontrôleur : questions Q31, Q49 et Q50.
• Interférences (sujet 6, physique) — cohérence, différence de marche, interférences à ondes multiples, Fabry-Pérot, finesse : toute la partie II.B, qui en est l'application la plus exigeante.
• Spectrométrie optique, couleur (sujet 3, physique) — spectre, résolution spectrale, absorption et réflectance des matériaux, filtres : questions Q35, Q47 et Q48.
• Fluides (sujet 13, physique) — Navier-Stokes, Poiseuille, nombre de Reynolds, Bernoulli et Bernoulli généralisé, pertes de charge : toute la partie III.
• Phénomènes de transport (sujet 10, physique) — diffusion de quantité de mouvement, viscosité cinématique, comparaison convection/diffusion : question Q55, qui en est la traduction directe.

Côté didactique, les quatre îlots de QP de ce sujet balaient à eux seuls la quasi-totalité du spectre attendu à l'écrit : incertitudes au collège sans outil statistique (Q8), distinction poids/masse (Q9), incertitudes de type A et comparaison à une valeur de référence en terminale (Q31), écriture d'un protocole et statut d'une grandeur définie (Q32), usage raisonné du numérique (Q33), obstacle didactique de vocabulaire et principe d'équivalence (Q34), objectifs d'une évaluation formative et correction commentée d'une copie (Q36-Q37), analyse critique d'un énoncé et remédiation (Q38), enfin mécanique des fluides en voie technologique (Q63 à Q65). C'est, à soi seul, un programme de révision pour les questions pédagogiques de n'importe quelle session.